La evaluación de una integral que involucra el signo de la función

Question

Vamos $w>0$, $\lbrace k_{ij} \rbrace_{i,j\in [1,n]}$ ser números de tomar cualquiera de las $0$ o $1$ como valor y $i$ el habitual número complejo. Estoy tratando de demostrar la siguiente identidad.

$$\int_{]-\infty,0]^n}dx_1\dots dx_n\, \prod_{j<l}\left[\mathrm{sgn}(x_l-x_j)\right]^{k_{jl}}\prod_{l=1}^n e^{(ia_{l}+w)x_l}=\prod_{l=1}^n\frac{1}{ia_l +w}\prod_{j<l}\left(\frac{i\, a_l-i\, a_j}{ia_l+ia_j+2w}\right)^{k_{jl}}$$

En el caso de que todos los $k_{ij}$ son igual a $0$, la integral es trivial, ya que podemos integrar cada variable de forma independiente. Pero siempre que un $k_{ij}$ es distinto de cero, las variables están acoplados a través de la señal de la función y parece que la manera más difícil.

Answer 1

Escribir $\alpha_l = w + ia_l$ y solicitar la sustitución de $x_l \mapsto -x_l$. Entonces la identidad es equivalente a

$$\int_{[0,\infty)^n} \prod_{j < l} \left( 1 - 2 k_{jl} \mathbf{1}_{\{x_l > x_j\}} \right) \prod_{l=1}^{n} \alpha_l e^{-\alpha_l x_l} \, dx_l = \prod_{j<l} \left(1 - 2 k_{jl} \frac{\alpha_j}{\alpha_j + \alpha_l} \right). \tag{*}$$

Ahora considere el caso donde $n = 3$ $k_{12} = k_{23} = 1$ pero $k_{13} = 0$. A continuación, el lado izquierdo de $\text{(*)}$ es

$$1 - \frac{2\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2} - \frac{2\alpha_2}{\alpha_2 + \alpha_3} + \frac{2\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3} \cdot \frac{2\alpha_2}{\alpha_2 + \alpha_3}$$

mientras que el lado derecho es

$$1 - \frac{2\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2} - \frac{2\alpha_2}{\alpha_2 + \alpha_3} + \frac{2\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{2\alpha_2}{\alpha_2 + \alpha_3}$$

Ellos no pueden iguales y, por tanto, la identidad no se sostiene.

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Sospecho que la identidad es cierto exactamente al $(k_{jl})$ satisface tipo de transitividad: para cualquier $j < l$,

$$k_{jl} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad k_{jm} = 1 = k_{ml} \quad \text{for all} \quad j < m < l.$$

Actualmente estoy tratando de demostrar que esta condición implica la identidad de $\text{(*)}$. Esto esencialmente se reduce a probar que la identidad al $k \equiv 1$, pero incluso esto no parece una tarea fácil.