Cuadrática Enteros en $\mathbb Q[\sqrt{-5}]$

Question

Alguien me puede decir si $\frac{3}{5}$, $2+3\sqrt{-5}$, $\frac{3+8\sqrt{-5}}{2}$, $\frac{3+8\sqrt{-5}}{5}$, $i\sqrt{-5}$ son todos cuadrática enteros en $\mathbb Q[\sqrt{-5}]$. Y si es así ¿por qué están en $\mathbb Q[\sqrt{-5}]$.

Answer 1

Usted puede saber si son números enteros a partir de la descripción en términos de número entero base, $\{1,\sqrt{-5}\}$. Recuerde que todos los algebraica de los números enteros en este campo están dadas por

$$a+b\sqrt{-5},\quad a,b\in\Bbb Z.$$

El examen de las opciones de etiquetado de los cinco números de $x_1,\ldots, x_5$, Entonces tenemos

$$\begin{cases} a_1 = {3\over 5}, b_1=0 \\ a_2=2, b_2=3 \\ a_3= {3\over 2}, b_2=4 \\ a_4={3\over 5}, b_4={8\over 5} \\ \end{casos}$$

Ahora para $x_i$ a ser un número entero, necesitamos $a_i,b_i\in\Bbb Z$, por lo que sólo vemos a $x_2$ obras. Tenga en cuenta que $x_5\not\in\Bbb Q(\sqrt{-5})$, lo que sin duda no es un número entero!

Answer 2

Sólo uno de ellos. Hay un número de diferentes maneras de decir, y de estos los más fáciles son, probablemente, el polinomio mínimo y el algebraico de la norma.

En una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{Q}$, el mínimo polinómica de un número algebraico $z$ se ve algo como $a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, y si $a_2 = 1$, tenemos un entero algebraico.

Si $z = m + n\sqrt{d}$, entonces la norma es $N(z) = m^2 - dn^2$. En $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$$z = m + n\sqrt{-5}$, esto funciona a $N(z) = m^2 + 5n^2$. Si $z$ es un entero algebraico, a continuación,$N(z) \in \mathbb{Z}$.

Vamos a tomar los cinco números uno por uno:

• $\frac{3}{5}$ es, obviamente, en $\mathbb{Q}$, por lo que también en la extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. Pero su polinomio mínimo es $5x - 3$, lo $a_1 = 5$ pero $a_2 = 0$. También, la norma es $\frac{9}{25}$. Claramente $\frac{3}{5}$ no es un entero algebraico.
• $2 + 3\sqrt{-5}$ tiene un polinomio mínimo de a $x^2 - 4x + 49$, por lo que nuestro $a_2$ aquí es de hecho 1. También, su norma es de 49. Aquí tenemos un entero algebraico en $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.
• $\frac{3}{2} + 4\sqrt{-5}$ tiene un polinomio mínimo de a $4x^2 - 12x + 329$, lo $a_2 = 4$. Y la norma es $\frac{329}{4}$, que no es un número entero. Por lo $\frac{3}{2} + 4\sqrt{-5}$ no es un entero algebraico en $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. (Nota: $\frac{3}{2} + 4\sqrt{5}$ no es un entero algebraico en $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, $\frac{3}{2} + \frac{7\sqrt{5}}{2}$ es).
• $\frac{3}{5} + \frac{8\sqrt{-5}}{5}$... usted puede hacer esto por su propia cuenta.
• $i \sqrt{-5}$ a $-\sqrt{5}$, que es un entero algebraico, pero se trata de un dominio diferente.