Las singularidades de un cociente de un suave variedad proyectiva por un grupo finito

Question

Hay una suave proyectiva variedad de alta dimensión, y un grupo finito G que actúa sobre él. Suponga que X/G existe. ¿Qué se puede decir acerca de la singularidad de X/G? por ejemplo, Son siempre aislado? (Me preguntaba puede haber algunos hechos elementales de suave colectores que lo explican.) A veces, incluso cuando G tiene puntos fijos en X, el cociente X/G es suave, sólo considere la posibilidad de una doble cubierta de $P^1(\mathbb{C})$ por sí mismo. ¿Hay algún criterio que garantiza que sucede esto?

Me preguntaba, ¿es siempre posible encontrar un amplio divisor D en X que es invariante por G, y que no es ni ramificado, ni en la imagen inversa de un punto singular en X/G (realiza la primera implica la segunda?) Ahora voy a ver el afín subconjunto U=X-D, U ahora es invariante por G. Ahora puedo tomar el cociente U/G y tomar su clausura proyectiva $ \overline{U/G}$, es la isomorfo como X/G ? Si es así, entonces probablemente podemos reemplazar "proyectiva" en la pregunta anterior por "afín".

Answer 1

Primero algunas buenas noticias: si un grupo finito $G$ actúa sobre una variedad proyectiva $X$, agradable o no, entonces el cociente siempre existe, de modo que usted no necesita asumir la existencia.

Otra agradable resultado: si $X$ es normal, así que va a ser $X/G$. Esto explica la observación de que un cociente de una curva suave es suave.

Incluso en dimensiones superiores, puede suceder que el cociente $X/G$ de la variedad lisa $X$ es suave, incluso a través de la acción de $G$ tiene puntos fijos.
Un ejemplo interesante es el de la acción del grupo simétrico $S_n$$X=(\mathbb P^1_k)^n$. El cociente de la variedad es sólo $\mathbb P^n_k$. Este es un proyectiva visión geométrica del teorema fundamental de polinomios simétricos.

Sin embargo, también puede haber situaciones en las que el cociente adquiere singularidades.
El ejemplo más sencillo es dividir la (afín) variedad $\mathbb A^2_k$ por la acción de los dos-grupo de elementos de $G=\lbrace I,s\rbrace$ donde $s$ actúa como $s\ast (x,y)=(-x,-y)$. Los morfismos $\mathbb A^2_k \to \mathbb A^3_k$ $u=x^2, v=xy, w=y^2$ desciende a una incrustación $X/G \stackrel {\sim} {\to} V \subset \mathbb A^3_k$, donde el cono $V$ está dado por la ecuación de $v^2=uw$.
(Por cierto, esta es una buena manera de demostrar que $V$ es normal, invocando la "agradable" resultado anterior!)

La naturaleza de las singularidades (o ausencia de ella) es toda una industria en la geometría algebraica: la clave-worde son "racionales singularidades", "Du Val singularidades",...

Dos buenas introducciones de variedades cociente : Shafarevich del libro Básico de la Geometría Algebraica y Mumford del Abelian Variedades.
La referencia definitiva se supone que Mumford-Fogarty del Geométricas Invariantes de la Teoría, pero yo no lo he leído.