Matrices y valores propios similares

Question

Dadas dos invertible matrices $A,B\in M_{2}(\mathbb R)$ tal que $B^{-1}AB=A^{2}$, e $1$ NO es un autovalor de a $A$.

(1) Hallar los autovalores de a, y

(2) Encontrar $A$ $B$ la satisfacción de las condiciones dadas.

Lo que he intentado es como sigue: desde $B^{-1}AB=A^{2}$, $A$ es similar a $A^{2}$, por lo que el conjunto de valores propios de a $A$ $A^{2}$ coinciden. Por eso, $\{\lambda_{1},\lambda_{2}\}=\{\lambda^{2}_{1},\lambda^{2}_{2}\}$, y tenemos dos casos:

1. $\lambda_{1}=\lambda^{2}_{1}, \lambda_{2}=\lambda^{2}_{2}$, lo $\lambda_{1}=0,1$, pero desde $A$ es invertible, entonces a $\lambda_{1}\neq 0$, lo $\lambda_{1}=1$ !! Estoy confundirse aquí!!

2. $\lambda_{1}=\lambda^{2}_{2}, \lambda_{2}=\lambda^{2}_{1}$, lo $\lambda_{1}=\lambda^{4}_{1}$ es un 3er raíz primitiva de la unidad.

No Sé cómo encontrar ese $A$$B$, alguna ayuda?!

Answer 1

Para la parte (1), has demostrado que el caso 1 no puede suceder.

Para la parte (2), permita que$\lambda_1$ sea una tercera raíz de unidad primitiva, luego$\lambda_2 = \lambda_1^2$ es la tercera raíz de unidad primitiva. La suma de todas las raíces de la tercera unidad es$0$, entonces$\lambda_1 + \lambda_2 = -1$. También, $\lambda_1 \lambda_2 = \lambda_1^3 = 1$. Esto nos da la pista y el determinante de$A$. Es muy fácil construir una matriz (¡con entradas reales!) Con el rastro$-1$ y el determinante$1$. A continuación, puede resolver por$B$ de varias maneras.