Esfera tangente a un plano

Question

Encuentra la ecuación para una esfera con centro $( \alpha , \beta , \gamma )$ tangente al plano $ax + by + cz = d$ .

La esfera es $(x- \alpha )^2 + (y- \beta )^2 +(z- \gamma )^2 = r^2$ y entiendo que algún vector del plano es ortogonal al vector del radio, pero ¿cómo encuentro el punto del plano que es el punto tangente?

Answer 1

Dejemos que $C = (\alpha, \beta, \gamma)$ , $N=(a,b,c)$ y $P$ sea el punto de tangencia en el plano. Como el plano es tangente a la esfera, la línea de $P$ a $C$ es ortogonal al plano, por lo que es un múltiplo de la normal.

Así que tenemos $C-P = r \frac{N}{\|N\|}$ (No es necesario normalizar la normal :-), pero nos permite interpretar la constante $r$ como un radio, con la posible molestia de que sea negativo). Dado que $P= C-r \frac{N}{\|N\|}$ se encuentra en el plano, tenemos $\langle P, N \rangle = d$ , lo que da $r = \frac{\langle C, N \rangle -d}{\|N\|}$ Por lo tanto $P = C-\frac{\langle C, N \rangle -d}{\|N\|} \frac{N}{\|N\|}$ .

Así que, explícitamente, $$P = (\alpha, \beta, \gamma) - \frac{a \alpha + b \beta + c \gamma -d}{a^2+b^2+c^2} (a,b,c).$$

O, por supuesto, puedes calcular $r = \frac{a \alpha + b \beta + c \gamma -d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ y luego $P = C -r \frac{N}{\|N\|}$ pero date cuenta de que $r$ puede ser negativo.

Answer 2

La distancia entre el punto C $(\alpha, \beta, \gamma)$ y el avión $ax+by+cz-d=0$ es $R=\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Pero la distancia $(R)$ entre el centro y el plano tangente es el radio $(r)$ de la esfera, por lo que la ecuación es $(x−α)^2+(y−β)^2+(z−γ)^2=\frac{(a\alpha+b\beta+c\gamma-d)^2}{a^2+b^2+c^2}$

En lo que respecta a la intersección, se puede investigar este para tener una idea general.

Answer 3

La normal al plano es $ai + bj + ck$ . Escribe una ecuación para la recta que pasa por el punto prescrito y di dónde choca con el plano. Sea $r$ sea la distancia entre el punto y el plano (a lo largo de la línea perpendicular). Su ecuación será b3 $$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 + (z - \gamma)^2 = r^2.$$

Answer 4

Obsérvese que, el punto de tangencia es la proyección del centro $I(\alpha, \beta, \gamma)$ de la esfera $(S)$ en el avión $(P)$ . Por lo tanto, puedes hacer los siguientes pasos.

1) Escribe la ecuación de la recta $\Delta$ pasando el punto $I$ y perpendicular al plano $(P)$ , vetor paralelo de $\Delta$ es también el vector normal del plano $(P)$ .

2) Las coordenadas del punto de tangencia es la solución del sistema de dos ecuaciones: Ecuación del plano $(P)$ y la ecuación de la recta $\Delta$ .