Caracterización de las clases de equivalencia en los reales sobre la multiplicación por racionales

Question

Una advertencia: yo no soy un matemático. Mi educación de posgrado en física; nunca he tenido ninguna educación formal en álgebra abstracta, por lo que puede que tenga que explicar las cosas como yo soy de los cinco.

Considere la posibilidad de que el grupo formado por el conjunto de $\mathbb Q-\{0\}$ con la operación binaria $\times$ (multiplicación). Este grupo tiene una acción sobre el conjunto de los números reales $\mathbb R$. Consideremos ahora la relación de equivalencia definida por esa acción: $$\forall x,y\in\mathbb R. \quad x\sim y \iff \text{there exists nonzero $q\in\mathbb P$ such that $x=qy$.}$$

Por ejemplo, $\frac 56 \sim \frac{11}{17}$, e $2^{1/2} \sim 2^{-1/2}$, pero $2^{1/3} \nsim 2^{2/3}$. Algunos ejemplos de las clases de equivalencia bajo esta relación se $\{0\}$, $\mathbb Q-\{0\}$, y $\left\{q \cdot \pi \mid q \in \mathbb Q-\{0\}\right\}$.

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Mi pregunta es la siguiente:

Es posible caracterizar estas clases de equivalencia, de modo que un miembro representativo puede ser el único elegido de cada uno de ellos? Más específicamente, me gustaría construir una función $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que

\begin{align} \forall x\in\mathbb R. &\quad x \sim f(x)\\ \forall x,y\in\mathbb R. &\quad x \sim y \iff f(x)=f(y) \end{align} Si una función no puede ser construido, cómo puede ser probada?

Tal función, si existe, me permitiría unificar una ecuación que apareció en mi investigación con varios otros. Sin embargo, la existencia de una función de este tipo parece insostenible, porque en todos los demás casos, siempre hubo restricciones adicionales más allá de $x\in\mathbb R$ que hizo escoger a un representante miembro de sencillo.

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He encontrado esta pregunta ya existente , pero

1. casi cada palabra en ella moscas millas por encima de mi cabeza, y
2. a partir de lo que puede descifrar, suena como que la pregunta es acerca de la adición por racionales. (tal vez todos los argumentos trabajo fuera de la misma; pero no puedo decir esto debido a (1.)!)

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Actualización: busco un constructiva ejemplo; algo donde hay potencialmente útiles matemáticos de la propiedad que distingue a la canónica de los representantes del resto de los reales. (mientras que una función de elección distingue de ellos (con respecto a los puntos fijos) no es particularmente útil)

Basado en las respuestas hasta el momento tengo entendido que la una no puede existir; el problema entonces es demostrarlo.

Answer 1

La función que está intentando crear es exactamente el tipo de cosa que el axioma de elección está hecha.

Tenga en cuenta que hay una (innumerables) de la colección de (discontinuo) de clases de equivalencia cuya unión es $\Bbb R$. Podemos denotar el conjunto de estas clases de equivalencia como $\mathcal C = \{S_i : i \in I\}$ (donde $I$ es algunos de indexación de conjunto). El axioma de elección nos permite decir lo siguiente:

Existe una función de $f: \mathcal C \to \Bbb R$ tal que para cada $i \in I$, $f(S_i) \in S_i$.

Tenga en cuenta que el axioma de elección es algo polémico. En particular, hay una constante, de manera razonable de hacer matemáticas en la que nosotros no permitir la construcción de estos conjuntos, y es imposible construir (es decir, demostrar que un ejemplo existe) como una función dentro de los confines de la Zermelo-Fraenkel axiomas.

No estoy muy seguro de cómo iba a demostrar que no explícitos ejemplo, $f$ existe aquí, pero estoy bastante seguro de que se puede hacer. Esperemos que esto nos pone sobre la pista de la derecha.

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Otro punto que vale la pena considerar: es posible considerar a este grupo a través de la adición. En particular, si definimos $$ L_{\Bbb Q} = \{\log(q):q \in \Bbb Q_+\} $$ Podemos considerar el cociente $G = (\mathbb{R},+)/L_{\Bbb Q}$. El mapa $$ \phi:G \(\Bbb R, \cdot)/(\Bbb P \setminus \{0\})\\ \phi([r]) = [\exp(r)] $$ es un inyectiva homomorphism. Aquí, $[x]$ denota la clase de equivalencia de a $x$.

Answer 2

El axioma de elección es de hecho necesaria para esto. Específicamente:

Esto es consistente con ZF (= la teoría de conjuntos sin elección) que no hay transversal de $\sim$ (es decir, no existe un conjunto de reales que contiene exactamente un elemento de cada una de las $\sim$-clase).

Tenga en cuenta que desde $\{f(x): x\in\mathbb{R}\}$ sería una transversal de $\sim$, esto descarta la posibilidad de que "explícitamente" la construcción de un $f$.

La prueba utiliza la coerción y simétrica submodelos, por lo que es un bocado y no voy a dar la prueba aquí. Pero Cohen del modelo original de la $ZF+\neg AC$ es un modelo en el que esto es cierto. Ver Jech el libro sobre el axioma de elección para más detalles sobre simétrica submodelos, y cómo este tipo de argumento.