Prueba geométrica de que$\left|\frac{i-z}{i+z}\right|<1$ para$z\in \mathbb{H}$

Question

Acabo de leer una prueba en un libro de análisis complejo que dice que existe un mapa biholomorphic (conformal) entre$\mathbb{H}$ y$\mathbb{D}$ y no entiendo un paso en la prueba, es decir, la norma del mapa (en el título) es menor que$1$, usando un argumento puramente "geométrico" (es decir, una imagen estaba en el libro). No entiendo "división geométrica", así que no veo inmediatamente la prueba "geométricamente", por favor NO quiero una respuesta algebraica (esto es bastante directo de todos modos).

Answer 1

Tenga en cuenta que$|i-z|$ es la distancia entre$z$ y$i$, y que$|i+z|$ es la distancia entre$z$ y$-i$. La desigualdad dice que$z$ se encuentra más cerca de$i$ que de$-i$, lo cual es cierto para los puntos en el medio plano superior.

Para hacer esto aún más claro, escribe$\bigl|{i-z \over i+z}\bigr|={|i-z|\over |i+z|}<1$ y multiplica por el denominador$|i+z|$.

Answer 2

Básicamente, quiere probar que cualquier punto en$\mathbb{H}$ está más cerca de$i$ que en$-i$. Dibuje el triángulo con vértices en$i, -i, z$ y observe que el ángulo en$-i$ es más pequeño que el ángulo en$i$. La forma más fácil de probar esto es extendiendo la línea a través de$i z$ hasta que interseca la axix real en$y$ y compara los ángulos en el triángulo$i,-i,z$ con los ángulos en$i,-i,y$ .

Answer 3

El eje real está en el medio entre$i$ y$-i$, por lo tanto, el lugar donde todos los puntos tienen la misma distancia de$i$ y$-i$. El resto de$\mathbb C$ se divide en aquellos puntos más cercanos a$i$ que a$-i$ (el semiplano superior) y los que están más cerca de$-i$ (mitad plano inferior).

Answer 4

Las normas de$i - z$ y$i+z$ son los cuadrados de las distancias entre$z$ y$\pm i$. Un punto$z$ se encuentra en el semiplano superior si y solo si está estrictamente más cerca de$i$ que a$-i$, de modo que esta relación tiene una norma estrictamente menor que$1$ y así que yace en el disco de la unidad.

Answer 5

| zi | = | z + i | es el conjunto de puntos equidistantes de$i$ y$-i$, la línea real. | zi |