¿Cómo demostrar matemáticamente que esa definición es incorrecta?

Question

Empecé a aprender cálculo por mí mismo. Primer capítulo de mi libro es sobre el límite de la secuencia. Hice todos los ejercicios en mi libro de texto, excepto un problema. Hay algunos problemas especiales en la final de este capítulo: la necesidad de encontrar un error en la definición. El último es muy raro. No entiendo cómo estrictamente demostrar matemáticamente por qué esta definición es incorrecta:

$L(a_n)$ - longitud de la curva de $a_n$.

$D(a_n(P),S_{AB})$ - distancia entre el punto de $P \in a_n$ y el segmento de $S_{AB}$ (perpendicular desde el punto P hasta que el segmento de $S_{AB}$).

Definición: Secuencia de continuo y suave de las curvas de $a_n$ se llama una aproximación para el segmento $S_{AB}$ si:

1. Todas las curvas de $a_n$ comienza en el punto a y termina en B.

2. Para cualquier $m<n, \{m,n\} \in \mathbb{N}, \ L(a_m) \geq L(a_n)$.

3. Para cada una de las $\epsilon >0$ existe un número natural $N$ tal que, para cada $n\geq N$, para todos los puntos de $P \in a_n$ tenemos $D(a_n(P),S_{AB})<\epsilon$.

4. Si (1-3) verdadero, a continuación, la secuencia de continuo y suave de las curvas de $a_n$ es una aproximación para un segmento de $S_{AB}$, su longitud tiende al límite L, que es la longitud de un segmento de $S_{AB}$.

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Es definitivamente malo. Con esta definición podemos demostrar que $5=4$.

Puede ser que se debería cambiar en 2)$L(a_m) > L(a_n)$? O es que no se puede reparar?

Answer 1

La definición es, en principio, se pueden corregir (después de todo, uno podría solucionarlo por dar la definición estándar), pero no es un defecto fundamental: la aproximación de la curva de $a_n$ puede estar cerca de el dado de la curva en el sentido de $(3)$, pero pueden tener una longitud mucho mayor que la longitud de la curva.

La definición de la longitud de las necesidades para dar la "respuesta correcta" para los casos más sencillos, donde tenemos una buena intuición, en particular para los segmentos de línea recta. Sin embargo, si tomamos la diagonal de un $1\times 1$ plaza, podemos encontrar una secuencia de zig-zag segmentos de línea recta, con cada segmento de línea recta paralela a un lado de la plaza, que está cerca de la diagonal, en el sentido de $(3)$, y siempre tiene una longitud total $2$.

Cierto, estos caminos en zigzag tienen la propiedad de que $L(a_n)$ es constante para todos los $n$. Pero la sustitución de $L(a_m)\ge L(a_n)$ $m\le n$ $L(a_m)\gt L(a_n)$ no ayuda mucho. Una pequeña modificación de las zigzagueantes caminos pueden hacer sus longitudes estrictamente decreciente, con el límite de cualquier número en el intervalo de $[\sqrt{2},2)$.

Tenga en cuenta que no todos los de la "definición" es una definición. Afirmación de $(4)$ es de hecho un teorema de la declaración. Que "teorema" pasa a ser falsa. El límite es muy dependiente de la secuencia de "la aproximación de curvas" que hemos elegido.