Aclaración sobre la propiedad de Hausdorff

Question

Si $X$ es un espacio de Hausdorff, a continuación, para los puntos de $a,b \in X$ no son disjuntas abrir conjuntos de $U$ $V$ tal que $a \in U$$b \in V$. Por lo tanto, tomar un conjunto de puntos de $\{a_1, \ldots , a_n\}$ y otro punto de $x$. A continuación, para cada una de las $a_i$ no son disjuntas abrir conjuntos de $U_i$ $V$ contiene $a_i$$x$, respectivamente.

Mi pregunta es: $V$ disjunta de todas las $U_i$, o lo hace sólo por pares? Hay condiciones que se pueden imponer a garantizar un conjunto abierto que separa $x$ de todos los puntos en determinado conjunto finito?

Answer 1

Permita que$\{a_1, ..., a_n\}$ sea una colección finita de puntos. Permita que$x$ sea un punto diferente de todos los$a_i$. Para cada$i$, al ser Hausdorff, existe$U_i$ y$V_i$ de modo que$a_i \in U_i$,$x \in V_i$ y$U_i \cap V_i = \emptyset$.

Entonces$V = \bigcap_{1 \leq i \leq n} V_i$ es un conjunto abierto (que es una intersección finita de un conjunto abierto) que contiene$x$ que es disjunta de todos los$A_i$ 's.

Answer 2

Solo quiero señalar que con la idea en la prueba de William, más arriba, puede probar fácilmente la siguiente propiedad (aparentemente más general):

Si$X$ es Hausdorff y$x_1, \ldots , x_n \in X$ son distintos, entonces hay barrios abiertos$V_1 , \ldots , V_n$ sobre$x_1, \ldots , x_n$, respectivamente, de forma que$V_i \cap V_j = \emptyset$ para$i \neq j$.

Answer 3

William respuesta muestra que, para el ejemplo, el conjunto de $A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ puede ser separada de la de un punto de set $B=\{x\}$ en cualquier espacio de Hausdorff. ("Separados" aquí significa que hay distintos abrir conjuntos de $U$$V$, conteniendo $A$ $B$ respectivamente). Pero como se puede ver, la prueba sólo va a través de debido a $A$ es finito.

Más general de la propiedad, que vale para los conjuntos infinitos $A$, que se llama la "regularidad". Un espacio normal es aquella en la que cada subconjunto cerrado $S$ pueden ser separados (en el sentido del párrafo anterior) de cada punto de $x$. Si los puntos están cerrados, entonces esto implica que el espacio también es Hausdorff, mediante la adopción de $S$ a constar de un solo punto de $y$. Los espacios de Hausdorff puede no ser regular, sin embargo.

Hay toda una familia de estos llamados axiomas de separación, y el estudio de las relaciones entre ellos es un importante campo de estudio.