Sabemos que un primo $p$ puede escribirse como una suma de cuadrados si $p \equiv 1 \pmod 4$ .
¿Tenemos alguna idea de qué proporción de primos son de la forma $4k + 1$ para algunos $k$ ?
Supongo que se necesitarían más conocimientos sobre los números primos, aunque no estoy seguro de qué trabajos se han realizado al respecto.
Un documento muy bonito que habla de todo esto es Carreras de números primos .
Le resultará interesante.
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Es $50$ - $50$ . Si $N_1(x)$ es el número de primos de la forma $4k+1$ que son $\le x$ y $N_3(x)$ es el mismo para $4k+3$ entonces $\lim_{x\to\infty}\frac{N_1(x)}{N_3(x)}=1$ .
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es.wikipedia.org/wiki/
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No es un teorema fácil de demostrar. Creo que el resultado (para secuencias aritméticas más generales) fue demostrado por primera vez por de la Vallee-Poussin, no muchos años después de que él y Hadamard hubieran demostrado el Teorema de los Números Primeros. El comportamiento de $N_1(x)$ y $N_3(x)$ es bastante interesante. Puede que le guste el artículo Carreras de números primos que no debería ser difícil de encontrar.
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Véase Ingham, The Distribution of Prime Numbers, pp. 106-107.