por que es $\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\sin x)}}{e^{\arctan(\sin x)}+e^{\arctan(\cos x)}}=\pi$?

Question

No puedo avanzar en la integral definida$$\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\sin x)}}{e^{\arctan(\sin x)}+e^{\arctan(\cos x)}}\,dx=\pi$ $ Sé que el resultado es$\pi$ de la aproximación numérica. ¿Podría alguien dar algunas pistas? ¿Me falta una sustitución inteligente? Prefiero pistas a una solución completa.

Answer 1

Deje que el integrando sea denotado por$f(x)$, y permita que$I$ sea el valor de esta integral.

1. El integrando es$2\pi$ - periódico entonces,$I=\int_T^{T+2\pi}f(x)dx$ para cada$T$.
2. $f(x)+f(\frac{\pi}{2}-x)=1$.
3. Por lo tanto$2I=\int_0^{2\pi}dx=2\pi$.

Answer 2

Otro enfoque es escribir:

ps

Ambas integrales se pueden evaluar fácilmente usando la bien conocida propiedad integral definida que establece que:$$\begin{aligned} I & = \int_{\pi/2}^{5\pi/2} \frac{e^{\arctan(\sin x)}}{e^{\arctan(\sin x)}+e^{\arctan(\cos x)}}\;{dx} \\& = \int_{0}^{5\pi/2} \frac{e^{\arctan(\sin x)}\;{dx}}{e^{\arctan(\sin x)}+e^{\arctan(\cos x)}}-\int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\arctan(\sin x)}\;{dx}}{e^{\arctan(\sin x)}+e^{\arctan(\cos x)}} \\& = I_{1}-I_{2} \end{aligned}$ $