¿El ancho de un poset está bien definido?

Question

Según la definición de Wikipedia (versión actual), el ancho de un poset es la cardinalidad de cualquier máximo antichain, donde "máximo antichain" aquí significa un antichain de máxima cardinalidad. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero no hay ninguna garantía de que dicho antichain existe. En estos casos, decimos que el ancho no está definido, o tomar el supremum lugar?

Para dar un ejemplo, si lo he hecho correctamente el poset $\Bbb N\times\Bbb N$ con el pedido de productos tiene una secuencia de máxima antichains dado por $A_n=\{(i,j)\mid i+j=n\}$, por lo que desde $|A_n|=n+1$ hay arbitrariamente grande antichains; pero por el contrario si $(i,j)\in A$ es un antichain, a continuación, $|A|\le i+j+1$ debido a que hay más de un representante de cada columna $<i$ y cada fila $<j$, así que no hay infinito antichains y sin máximo de antichains. Así es el ancho de este poset indefinido, o es $\aleph_0$?

Uno puede hacer una pregunta similar sobre la altura (la cardinalidad de un máximo de cardinalidad de la cadena), por ejemplo, con el fin de en $\{(i,j)\in\Bbb N\times\Bbb N\mid i\le j\}$ $(i,j)\le(i',j')\leftrightarrow i\le i'\land j=j'$ (el cual es distinto de la unión de las cadenas de la forma $\{(0,n),(1,n),\dots,(n,n)\}$).

Answer 1

Creo que esta pregunta es similar a si $0$ pertenece a los números naturales o no. En algunas áreas, es conveniente incluir $0$ y en otras áreas no lo es. Del mismo modo aquí. Si usted trata con finito antichains solamente, usted puede considerar el máximo. Si usted trata con infinita (o ilimitado) antichains usted desea considerar el supremum.

En la Teoría de conjuntos, por ejemplo, donde la mayoría de los posets son infinitas, las personas consideran el menos cardenal $\kappa$ tal que no es antichain de tamaño $\kappa$. En tu ejemplo, $\kappa$$\omega$. En estos casos, el concepto a considerar es $\kappa$-de la cadena de condición.

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_chain_condition