Resultó que Cómo bien conectado puede un (especial) de la partición de $\Bbb R^2$? tenía unas buenas respuestas utilizando continum-muchos pares distintos densos conjuntos conectados. La conexión es sólo más raro de lo que uno piensa primero ...
Así que vamos a subir la apuesta a la ruta-conectividad:
Deje $\{A_i\}_{i\in I}$ ser una familia de subconjuntos de a $\Bbb R^2$ (donde $I=\Bbb N$ o $\Bbb Z$; no sé si se hace una diferencia en la pregunta vinculada a la distinción era irrelevante como soluciones con todos los índices "completamente vinculada" se encontraron incluso para $I\approx \Bbb R$) tales que
- $\bigcup_{i\in I} A_i=\Bbb R^2$
- $i\ne j\implies A_i\cap A_j=\emptyset$
- $A_i\ne\emptyset$
- $A_i$ es la ruta de acceso conectado
- $A_i\cup A_{i+1}$ es la ruta de acceso conectado
¿Cuántas veces puede suceder que $A_i\cup A_j$ es la ruta de acceso conectado para $j\notin\{i-1,i,i+1\}$?
Definición. Digamos que un índice $n\in I$ es infinitamente vinculado/casi completamente enlazadas/vinculadas totalmente si $A_n\cup A_i$ es la ruta de acceso conectados por una infinidad de/casi todos/todos los $i\in I$.
Una posibilidad de configuración es dejar que el $A_i$ ser a rayas verticales, en cuyo caso no $n\in I$ es infinitamente vinculados. Con otra configuración se puede lograr que existe exactamente una $n\in I$ que es completamente vinculada (deje $A_n=\{(0,0)\}$ y todos los demás $A_i$ adecuado sectores de $\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$). Puede más que ser alcanzado?
- I. e., hay configuraciones con más (dos, tres, arbitrariamente muchos, infinitamente muchos, casi todos, todos) completamente de índices encadenados?
- O tal vez, al menos, más casi por completo de índices encadenados?
- Para $I=\Bbb Z$, puedo encontrar configuraciones de dos infinitamente índices encadenados. Son tres o más infinitamente índices encadenados posible?
- Son dos infinitamente índices encadenados posible con $I=\Bbb N$?
Tenga en cuenta que con $\Bbb R^3$ en lugar de $\Bbb R^2$ uno puede lograr fácilmente que todos los índices están completamente ligados.
EDIT: Sólo después de ver Crostul's solución (y cómo puede ser adaptado para $I=\Bbb Z$, me di cuenta de que no es posible tener tres o más completo de índices encadenados: Elegir un punto en cada uno de los tres juegos y un punto en cada uno de los otros tres conjuntos. A continuación, podemos elegir un camino testigos de la ruta de acceso-conexión de los respectivos sindicatos (wlog.(!) estos caminos no se cruzan) y obtener una solución para el famoso gas-agua-el problema de la electricidad (es decir, un plano de la incorporación de la $K_{3,3}$), lo cual es imposible.
