Operador de impulso angular en términos de operadores de escalera

Question

Quería mostrar que el momento angular de la partícula estado con cero ímpetu $| \vec{0} \rangle$$0$, es decir, el valor intrínseco de vuelta de un campo escalar es $0$ utilizando un modo de expansión.

Hay un argumento ingenioso que es, en esencia, que

$e^{i \vec{\theta} \cdot \hat{\vec{J}}} \, | \vec{p} \rangle = | R(\vec{\theta}) \vec{p} \rangle$

y así tenemos que para cualquier $\vec{\theta}$

$e^{i \vec{\theta} \cdot \hat{\vec{J}}} \, | \vec{0} \rangle = |\vec{0} \rangle + i \vec{\theta} \cdot \hat{\vec{J}} |\vec{0} \, \rangle + \cdots = |\vec{0} \rangle$

y por lo tanto es claro que

$\hat{\vec{J}} |\vec{0} \, \rangle = 0$

la que se muestra el resultado deseado. Me gustaría mostrar lo mismo utilizando

$\hat{\vec{J}} = -\int d^3x \, \vec{x} \times ( \hat{\pi} \, \nabla \hat{\phi})$

y utilizar el modo de expansiones $\hat{\phi}$$\hat{\pi}$:

$\hat{\phi} = \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\vec{p}}}} (\hat{a}_{\vec{p}} + \hat{a}^{\dagger}_{-\vec{p}})e^{i \hat{p} \cdot \hat{x}}$

$\hat{\pi} = \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \sqrt{\frac{E_{\vec{p}}}{2}} (\hat{a}_{\vec{p}} - \hat{a}^{\dagger}_{-\vec{p}})e^{i \hat{p} \cdot \hat{x}}$

Haciendo esto (y normal de ordenar) me sale el siguiente

$\hat{\vec{J}} = - i \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \hat{a}^{\dagger}_{\vec{p}} ( \vec{p} \times \nabla_{\vec{p}}) \hat{a}_{\vec{p}}$

Estoy segura de cómo proceder con los derivados de la escalera de los operadores y cómo aplicarlos a los estados en el espacio de Fock.

Podría alguien argumentar en cuanto a cómo se puede aplicar este modo de expansión para el estado de $| \vec{0} \rangle$ y demostrar que aniquila, como debe ser.

Answer 1

Primero una nota acerca de la normalización. Cuando se hace de modo expansiones, por su propia cordura, usted debe utilizar relativista de normalización:

$$ \alpha_p = \sqrt{2E_p} a_p $$

y lo mismo para el Hermitian conjugado. Esto hace que el modo de expansión de un manifiestamente invariante de expansión en términos de la medida invariante en la hipérbola $d^3p\over 2E_p$ y hace que todas las manipulaciones suficientemente transparente como para hacer en la cabeza. Esto no es importante aquí, el relativista de la escalera de los operadores tiene un inusual estado de normalización, pero es indispensable para la vinculación de la escalera de los operadores de la covariante Feynman métodos de aprender más tarde.

El principal problema es el de cómo lidiar con los derivados de los operadores que producen singular de los estados. Los estados producidos por $a_p$ delta-funciones en el impulso de espacio, no se normalizan los estados. Por lo tanto, actuando con un p-derivado produce un derivado de la delta-función. Derivada de una función delta sirve para rotar p, al igual que en la primaria de la mecánica cuántica caso.

La expresión que tienes es el operador que gira p por una cantidad infinitesimal. La manera de ver esto es que el uso de L como un Hamiltoniano, y mover a los operadores una cantidad infinitesimal por el Heisenberg de las ecuaciones de movimiento (generar unitario de la transformación, mediante L_z, por ejemplo)

$$ {da_p\over ds} = i [L_z ,a_p] = p_x \partial_{p_y} a_p - p_y \partial_{p_x} a_p $$

Donde se utilizan las relaciones de conmutación de una y una daga. Esto se puede hacer de forma intuitiva si usted sabe la conmutación relación del número de operador $a^\dagger_p a_p$ $a_p$ es sólo $a_p$ una vez más. La ecuación resultante para la canónica efecto de transformación en los operadores una es resuelto por la rotación de la p-vector de un operador alrededor del eje z

$$ a_p(s) = a_{p(s)} $$

Donde la rotación de impulso vector de rotación alrededor del eje z

$$p_x(s) = p_x cos(s) - p_y sin(s)$$ $$p_y(s) = p_x \sin(s) + p_y cos(s)$$

Si usted diferenciar el operador $a_{p(s)}$, se calcula la tasa de cambio de $p_x$ multiplicado por la derivada de la $a$ operador con respecto a $p_x$, más la tasa de cambio de $p_y$ multiplicado por la derivada de la $a$ operador con respecto a $p_y$, que, cuando se escribe abajo las tasas de cambio de la p reproduce el lado derecho de la transformación canónica.

El mismo tiene para la $a^\dagger$, por lo que el $L_z$ operador hace lo mismo que el nonrelativistic ejemplo, gira los operadores alrededor del eje z. La rotación de $a^\dagger_0$ no hace nada porque el cero vector de rotación invariable, y se obtiene que el $L_z$ operador aniquila el estado $a^\dagger_0 |0>$.

Esta derivación es una especie de hokey, que probablemente quería una aplicación directa del operador para el estado. Esto es complicado, porque el singular delta-función son derivados de la multiplicación de la desaparición de p a la derecha en este punto. Sin embargo, si lo hace, se obtiene la tasa de variación de las componentes x y y del vector 0 en virtud de un giro z, a veces la derivada de un operador en las direcciones x e y, que da cero, porque el primer factor es cero.

Usted debe ser consciente de que es posible hacer distinto de cero, el momento angular de los estados con arbitrariamente lentamente diferentes formas de onda, pero no aquellas que tienen que desaparecer en el origen. Esta es la razón por la que el 0 impulso del estado es especial--- no se desvanecen en el origen.