El programa de instalación. Deje $(M,g)$ ser una de Riemann colector de dimensión $2$, vamos a $m\in M$ y deje $U$ ser un barrio de $0$ $T_mM$ tal que $\exp_m\colon U\rightarrow M$ es una incrustación y deje $h:={\exp_m}^*g$.
Según Gauss lema, en coordenadas polares $[r,\theta]$$U\setminus\{0\}$, se tiene la siguiente descomposición:
$$h=\mathrm{d}r^2+f(r,\theta)^2\mathrm{d}\theta^2.$$
Deje $u$ $v$ ser dos vectores de $T_mM$ que son ortogonales para $h_0$ y supongamos que las coordenadas polares se han elegido tal que el ángulo asociado a$u$$0$.
Pregunta. Deje $c\colon r\mapsto ru$, vamos a $r\mapsto V(r)$ ser el transporte paralelo de $v$ a lo largo de $c$ y deje $\cdot'$ ser la conexión inducida en $c^*TM$ $\nabla$ la de Levi-Civita de conexión de $M$, entonces: $$J(r):=f(r,0)V(r)$$ es el campo de Jacobi a lo largo de $c$ con valores iniciales $J(0)=0$$J'(0)=v$.
Mis intentos.
Tengo que demostrar que $J$ satisface la siguiente segundo orden de la ecuación diferencial lineal: $$J''-R(\dot{c},J)\dot{c}=0.$$ El primer término es fácil de calcular, como $V$ es paralelo a lo largo de $c$, se tiene: $$J''(r)=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}(r,0)V(r).$$ Sin embargo, estoy teniendo un momento difícil con la curvatura plazo, soy consciente de que, por definición, se tiene: $$R(\dot{c},J)\dot{c}=\nabla_{\dot{c}}\nabla_J\dot{c}-\underbrace{\nabla_{J}\nabla_{\dot{c}}{\dot{c}}}_{=0}-\nabla_{[\dot{c},J]}\dot{c}$$ y en el medio plazo está desapareciendo desde $c$ es una geodésica camino y aquí estoy atascado.
Otra estrategia que tengo en mente es encontrar una suave mapa de $\ell\colon I\times]-\varepsilon,\varepsilon[\rightarrow M$ tal forma que: $$J(r)=\frac{\partial\ell}{\partial s}(r,0)$$ y para todos $s$, $t\mapsto\ell(t,s)$ es una geodésica de $M$. No he cavar en profundidad este enfoque todavía.
Otra idea podría ser para demostrar que uno ha $J(r)=T_{ru}\exp_m(v)$, pero no parece muy factible.
Cualquier iluminación será muy apreciada.
