Probar$\mathrm{exp}(\mathrm{Tr}(A)) = \det(\mathrm{exp}(A))$ a través de toros máximos

Question

Este es un ejercicio de Kris Tapp poco AMS folleto de la Matriz de los Grupos para los estudiantes de Pregrado. He revisado la prueba indicados anteriormente en el texto, sino que la prueba se basa en las propiedades de exp y otros aspectos de los desplazamientos de las matrices, la definición de la derivada y de otras más simples observaciones. Ah! Los desplazamientos de las matrices debe ser uno de los principales aquí, pero me temo que no lo suficiente de las conexiones. Mi sensación es que la conjugación va a ser de mucha ayuda, ya que todos la máxima tori son los conjugados de cada uno de los otros. Creo que tengo todas las piezas del rompecabezas, pero aún tienen que encajar las piezas adecuadas. Máxima Tori es el nombre del Capítulo (#9) y son, por lo tanto, un NUEVO tema, que de nuevo apunta en la dirección de sus propiedades para ser el pegamento para unir las piezas.

Alguna sugerencia?

Answer 1

No puedo imaginar lo máximo tori tiene que ver con esto. Así que aquí es más o menos estándar de la prueba. Depende de cuatro factores:

• $\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$ todos los $A,B$.

• $\det AB=\det A\,\det B$ todos los $A,B$.

• $\exp(JAJ^{-1})=J\exp(A)J^{-1}$ todos los $A$ y todos los invertible $J$.

• La descomposición de Schur: para cualquier $A$, existe una unitario $J$ tal que $A=JTJ^{-1}$ $T$ triangular superior.

La traza de la propiedad es un ejercicio fácil. Multiplicativity de $\det$ no es trivial, pero es un básico de álgebra lineal hecho. La propiedad de la exponencial de la siguiente manera fácil de $(JAJ^{-1})^n=JA^nJ^{-1}$. La descomposición de Schur es un hecho básico en la matriz de análisis; puede ser sustituido aquí con el Jordan de descomposición si por casualidad usted conoce mejor.

Un análisis rápido de la igualdad de $A=JTJ^{-1}$ muestra que $T$ contiene los autovalores de a $A$, contando multiplicidades, en su diagonal. Llamar a estos $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.

Ahora \begin{align}\exp(\text{Tr}(A))&=\exp(\text{Tr}(JTJ^{-1})=\exp(\text{Tr}(TJ^{-1}J))\\ \ \\ &\tag1=\exp(\text{Tr}(T))=\exp(\lambda_1+\cdots+\lambda_n). \end{align} Y \begin{align} \det(\exp(A))&=\det(\exp(JTJ^{-1}))=\det(J\exp(T)J^{-1})=\det(\exp(T))\\ \ \\ &\tag2=e^{\lambda_1}\cdots e^{\lambda_n}.\end{align} La única que no sea trivial paso es que el $\exp(T)$ ha diagonal $e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n}$. De esta manera se sigue simplemente darse cuenta de que la diagonal de $T^n$$T_{11}^m,\ldots,T_{nn}^m$.

Ahora la igualdad entre $(1)$ $(2)$ es claro desde $e^{a+b}=e^ae^b$.

Answer 2

El resultado claramente se cumple para$A$ diagonal, y por lo tanto se mantiene para$A$ diagonalizable por el hecho de que$\operatorname{tr}$ y$\det$ son ambos invariantes bajo conjugación. Pero las matrices diagonalizables son densas en$M_n(\mathbb{C})$ (en la métrica habitual), por lo que el resultado se mantiene para$A$ arbitrario.