Un surjection continuo es adecuado solamente si antes imágenes de conjuntos compactos son compactos

Question

Dugundji Definición: Un mapa de $f:X\to Y$ entre espacios topológicos se llama perfecto (o adecuada), si se trata de un continuo cerrado surjection de tal manera que cada fibra $f^{-1}(\{y\})$, $y\in Y$, es compacto.

Mostrar que un continuo surjection $f:X\to Y$ entre espacios topológicos es correcto si, y sólo si, $f^{-1}(K)\subset X$ es compacto, siempre que $K\subset Y$ es compacto.

Yo:

$(\Rightarrow)$ Necesitamos simplemente para mostrar que $K\subset Y$ compacto $\Rightarrow f^{-1}(K)\subset X$ compacto. Deje $K\subset Y$ ser un conjunto compacto y deje $\scr U$ libre convering de $f^{-1}(K)$. Entonces $\scr F$$=\{F_U\,:\, U\in \scr U\}$, $F_U:=X-U$, es una familia de cerrados sets. Desde $f$ está cerrado, $\scr V$$=\{Y-f(F_U)\,:\,U\in \scr U\}$ es una familia de subconjuntos abiertos de $Y$. Pero... ¿y entonces?

$(\Leftarrow)$ Es obvio que cada fibra de $f^{-1}(\{y\})$ es compacto, ya que cada $\{y\}\subset Y$ es compacto. Deje $F\subset X$ ser cerrado. ¿Cómo puedo demostrar que $f(F)\subset Y$ está cerrado? (en fin de mostrar que la $f:X\to Y$ es cerrado)

Answer 1

Vamos a distinguir las definiciones:

Un mapa continuo es perfecto si es un cerrado surjection con compacto de fibras.

Un mapa continuo es adecuada si la preimagen de cada conjunto compacto es compacto.

La dirección de avance, perfecto => correcto, tiene en todos los casos. Va con su notación, podemos suponer $\mathcal U$ es cerrado bajo finito sindicatos. Esto significa que cada fibra está cubierto por algunas de las $U\in\mathcal U,$ y, por tanto, cada una de las $k\in K$ está cubierto por algún conjunto abierto en $\mathcal V.$ Por la compacidad de $Y$ algunos unión finita de conjuntos en $\mathcal V$ cubre $Y,$, que sólo puede venir de un número finito de la cubierta de $f^{-1}(K)$ por los conjuntos en $\mathcal U.$

La dirección de retroceso no se sostiene en general, por ejemplo la constante de mapa desde el punto de espacio (o cualquier espacio compacto) para abrir el punto de que el espacio de Sierpinski es correcto pero no se ha cerrado. Sí al $Y$ es generado de forma compacta Hausdorff: Continua adecuada mapa en forma compacta generado Hausdorff espacio es cerrado.