Un sistema de ecuaciones lineales similar al de la Olimpiada Juvenil

Question

Dado un sistema de ecuaciones lineales

$$\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{5}+\frac{z}{9}+\frac{w}{17} &=1 \\ \frac{x}{4}+\frac{y}{6}+\frac{z}{10}+\frac{w}{18} &=\frac{1}{2} \\ \frac{x}{5}+\frac{y}{7}+\frac{z}{11}+\frac{w}{19} &=\frac{1}{3} \\ \frac{x}{6}+\frac{y}{8}+\frac{z}{12}+\frac{w}{20} &=\frac{1}{4} \\ \end{align}$$

Determinar $$ \frac{x}{10}+\frac{y}{12}+\frac{z}{16}+\frac{w}{24}$$

Este es un problema que me pidieron que resolviera un poco antes. Como no se me ocurrió otra idea que utilizar la eliminación de Gauss Jordan, lo hice. La respuesta es $\frac{1}{36}$ . ¿Podría alguien proporcionarme una solución elegante a este problema?

Answer 1

Dejemos que $G(s) = \frac{x}{s+2} + \frac{y}{s+4} + \frac{z}{s+8} + \frac{w}{s+16} - \frac 1s$ y $F(s) = s(s+2)(s+4)(s+8)(s+16)G(s)$ .

Claramente $F(s)$ es un polinomio de grado 4 cuyas raíces son 1, 2, 3 y 4. También, $F(0) = - 2\times4\times8\times16 = -2^{10}$ . Por lo tanto,

$$ F(s) = -\frac{2^{10}}{24}(s-1)(s-2)(s-3)(s-4) = -\frac{2^7}{3}(s-1)(s-2)(s-3)(s-4). $$

Estamos interesados en $F(8) = -\frac{2^7}{3}\times7\times6\times5\times4 = -2^{10}\times5\times7$ .

Por lo tanto, $$ \frac{x}{10}+\frac{y}{12}+\frac{z}{16}+\frac{w}{24} - \frac{1}{8} = \frac{F(8)}{8\times10\times12\times16\times24} = \frac{-2^{10}\times 5\times 7}{2^{13}\times3^2\times5} = -\frac{7}{72}, $$

y $$ \frac{x}{10}+\frac{y}{12}+\frac{z}{16}+\frac{w}{24} = \frac18 - \frac{7}{72} = \frac{1}{36}. $$