El problema
Empiezas con $N$ monedas. Todas las monedas son justas y caen cara con probabilidad $p_f=0.5$ excepto una moneda ponderada que sale cara con un peso $p_w$ .
Cuando el juego se inicie realiza los siguientes pasos:
- Lanza cada moneda en juego
- Si ninguna moneda sale cara, el juego termina.
- En caso contrario, elimina del juego todas las monedas que hayan salido caras.
- Lanza todas las monedas restantes.
- Repite la operación hasta que ninguna moneda salga cara o hasta que se retiren todas las monedas del juego.
Suponiendo que $n\leq N$ monedas han sido retiradas del juego, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda ponderada haya sido retirada? es decir $$P(\text{ Weighted Coin Removed from Play } | \text{ } n \text{ Coins Removed }) = \text{???}$$
Mi enfoque
Inicialmente pensé que el juego en sí no es realmente relevante y que puedo mirar una sola prueba del juego. Sólo tenemos que mirar a la probabilidad de voltear $n$ cabezas (donde una de ellas es la moneda ponderada) sobre la probabilidad de lanzar $n$ cabezas.
Por ejemplo, pongamos $N=3$ , $n=2$ , $p_f=0.5$ y $p_w=0.1$ .
Entonces la probabilidad de sacar dos caras donde una de ellas es la moneda ponderada es
$$2p_wp_f(1-p_f) = 2(0.1)(0.5)(1-0.5) = 0.05.$$
Y la probabilidad de que salgan dos caras en las que una de ellas NO sea la moneda ponderada es
$$(1-p_w)p_f^2 = (0.9)(0.5)^2 = 0.225.$$
Así que yo pensaría que la probabilidad de haber sacado ya la moneda ponderada una vez que se sacan dos monedas es
$$\frac{0.05}{0.05+0.225}\approx 0.182$$
Pero escribí una simulación que dice que debería estar más cerca $0.166$ y estoy seguro de que hay algo que no funciona en mi enfoque necesita tener en cuenta el juego. No estoy muy seguro de lo que estoy haciendo mal, pero estoy bastante seguro de que tengo que tener en cuenta la posibilidad de múltiples vueltas del juego de alguna manera.
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¿Por qué crees que puedes considerar sólo las 2 monedas lanzadas así? Es decir, ¿por qué cree que no es necesario tener en cuenta la posibilidad de que haya varias vueltas? Deberías asegurarte de tener una respuesta a esta pregunta antes de intentar tu enfoque.
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Inicialmente me imaginé que hay tres formas de sacar dos monedas del camino (dos formas de sacar 1 moneda ponderada y 1 moneda justa, y una forma de sacar 2 monedas justas). Así que sólo sería cuestión de mirar la probabilidad respectiva de llegar a ese resultado. Está claro que los turnos múltiples importan, pero no consigo entender cómo se puede incluir.