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Juego de lanzamiento de monedas - Lanza hasta el fallo

El problema

Empiezas con $N$ monedas. Todas las monedas son justas y caen cara con probabilidad $p_f=0.5$ excepto una moneda ponderada que sale cara con un peso $p_w$ .

Cuando el juego se inicie realiza los siguientes pasos:

  1. Lanza cada moneda en juego
  2. Si ninguna moneda sale cara, el juego termina.
  3. En caso contrario, elimina del juego todas las monedas que hayan salido caras.
  4. Lanza todas las monedas restantes.
  5. Repite la operación hasta que ninguna moneda salga cara o hasta que se retiren todas las monedas del juego.

Suponiendo que $n\leq N$ monedas han sido retiradas del juego, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda ponderada haya sido retirada? es decir $$P(\text{ Weighted Coin Removed from Play } | \text{ } n \text{ Coins Removed }) = \text{???}$$

Mi enfoque

Inicialmente pensé que el juego en sí no es realmente relevante y que puedo mirar una sola prueba del juego. Sólo tenemos que mirar a la probabilidad de voltear $n$ cabezas (donde una de ellas es la moneda ponderada) sobre la probabilidad de lanzar $n$ cabezas.


Por ejemplo, pongamos $N=3$ , $n=2$ , $p_f=0.5$ y $p_w=0.1$ .

Entonces la probabilidad de sacar dos caras donde una de ellas es la moneda ponderada es

$$2p_wp_f(1-p_f) = 2(0.1)(0.5)(1-0.5) = 0.05.$$

Y la probabilidad de que salgan dos caras en las que una de ellas NO sea la moneda ponderada es

$$(1-p_w)p_f^2 = (0.9)(0.5)^2 = 0.225.$$

Así que yo pensaría que la probabilidad de haber sacado ya la moneda ponderada una vez que se sacan dos monedas es

$$\frac{0.05}{0.05+0.225}\approx 0.182$$

Pero escribí una simulación que dice que debería estar más cerca $0.166$ y estoy seguro de que hay algo que no funciona en mi enfoque necesita tener en cuenta el juego. No estoy muy seguro de lo que estoy haciendo mal, pero estoy bastante seguro de que tengo que tener en cuenta la posibilidad de múltiples vueltas del juego de alguna manera.

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¿Por qué crees que puedes considerar sólo las 2 monedas lanzadas así? Es decir, ¿por qué cree que no es necesario tener en cuenta la posibilidad de que haya varias vueltas? Deberías asegurarte de tener una respuesta a esta pregunta antes de intentar tu enfoque.

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Inicialmente me imaginé que hay tres formas de sacar dos monedas del camino (dos formas de sacar 1 moneda ponderada y 1 moneda justa, y una forma de sacar 2 monedas justas). Así que sólo sería cuestión de mirar la probabilidad respectiva de llegar a ese resultado. Está claro que los turnos múltiples importan, pero no consigo entender cómo se puede incluir.

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the4seasons Puntos 151

$N=3, n=2, p_w=0.1$

Entre paréntesis están los lanzamientos explícitos de las monedas, por razones de notación, la primera moneda siempre será ponderada, las siguientes son justas.

Caso 1: Ninguna moneda sale cara. No importa ya que entonces no se pueden sacar 2 monedas. (TTT)

Caso 2: Las 3 monedas salen caras. Tampoco importa, ya que sacar exactamente 2 monedas ya es imposible. (HHH)

Caso 3: 2 monedas salen cara.
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cara = ${2\choose1}(0.1)(0.5)(0.5)=0.05$ (HTH, HHT)
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cruz = $(1-0.1)(0.5)(0.5)=0.225$ (THH)

Caso 4: 1 cara de la moneda. Todavía es posible que se eliminen 2 monedas, pero también es posible terminar el juego sin eliminar 2 monedas.
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cara = $(0.1)(0.5)(0.5)=0.025$ (HTT)
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cruz = ${2\choose1}(1-0.1)(0.5)(0.5)=0.45$ (THT, TTH)

Caso 4.1: Se ha retirado la moneda ponderada.
Probabilidad de que 1 moneda justa salga cara = ${2\choose1}(0.5)(0.5)=0.5$

Caso 4.2: 1 moneda justa eliminada.
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cara = $(0.1)(0.5)=0.05$ (HT)
Probabilidad de que la moneda ponderada salga cruz = $(1-0.1)(0.5)=0.45$ (TH)

Probabilidad requerida = $\frac{0.05+0.025*0.5+0.45*0.05}{0.05+0.225+0.025*0.5+0.45*(0.05+0.45)}=\frac{0.085}{0.5125}=34/205=0.16585...$

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Vale, ahora entiendo por qué hay que considerar cada caso de forma diferente. Esperaba que fuera posible una solución general sencilla, pero parece que esto va a ser más complejo de lo que esperaba. Sospecho que habrá que convertirlo en una cadena de Markov. En cualquier caso, esto debería hacerme avanzar en la dirección correcta. Gracias.

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CodingBytes Puntos 102

Su regla de "muerte súbita" 2. complica terriblemente el análisis, y no la tendré en cuenta. Además, estoy asumiendo $N$ monedas justas al principio.

La probabilidad de que una moneda justa siga en el juego después de $r\geq0$ es $2^{-r}$ . Por lo tanto, el número $N_r$ de monedas justas aún en el juego después de $r$ se distribuye de forma binómica: $$P\bigl[N_r=k\bigr]={N\choose k}\left(2^{-r}\right)^k\left(1-2^{-r}\right)^{N-k}\qquad(0\leq k\leq N)\ .\tag{1}$$ La probabilidad de que la moneda ponderada siga en el juego después de $r$ es $q^r$ , donde $q:=1-p_w\,$ .

Ahora, si después de $r$ volteretas que se observan $m$ monedas supervivientes que o bien tienen $m$ monedas justas que sobreviven (y la moneda ponderada ha desaparecido), o tiene $m-1$ monedas justas y la moneda ponderada que sobrevive. Por lo tanto, para su pregunta queda resolver un pequeño problema de probabilidades condicionales, utilizando la fórmula $(1)$ .

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Mason McElroy Puntos 41

Gracias al usuario the4seasons por ayudarme a reflexionar sobre esta cuestión. Después de devanarme los sesos durante una semana, todavía no he encontrado una solución de forma cerrada para este problema, pero he elaborado un procedimiento sencillo para encontrar la respuesta modelando el juego como un Proceso de Markov Discreto.

Para el caso $N=3, n=2, p_w=0.1$ el primer paso es construir una matriz de transición $T$ así...

Transition Matrix

... donde cada fila representa la probabilidad de pasar al siguiente estado dado el estado actual. Por ejemplo, basándose en la matriz se puede deducir que la probabilidad de pasar de tener 0 monedas ponderadas eliminadas y 1 monedas justas eliminadas, a tener 0 monedas ponderadas eliminadas y 2 monedas justas eliminadas es de 0,45.

A partir de ahí podemos observar la probabilidad de estar en cada estado del proceso mediante la multiplicación matricial: $X_{i+1} = T' X_i$ . Cada columna representa un estado $X_i$ .

Markov Process

A partir de aquí podemos simplemente observar la probabilidad de sacar dos monedas frente a sacar dos monedas donde una es la ponderada sumando las filas correspondientes. Finalmente, obtenemos nuestra respuesta como $0.085 / (0.085 + 0.4275) \approx 0.1659$ .

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