¿Cuál es el tamaño relativo del pico (M+2)?

Question

El $(M+1)$ se considera a menudo en los espectros de masas de alta resolución de las moléculas orgánicas, ya que revela el número de átomos de carbono en la muestra. En general, se sabe que la relación entre el tamaño del $M$ a $(M+1)$ picos es $98.9 : 1.1 \times n $ ya que la abundancia relativa en la naturaleza de $^{13}$ C es $ 1.1$ para el espectro de masas de una molécula orgánica que contiene $n$ átomos de carbono y sin heteroátomos. Se menciona que el $(M+2)$ pico es estadísticamente insignificante en este sitio . Sin embargo, creo que eso sólo se aplica a las moléculas orgánicas con un número relativamente pequeño de átomos de carbono y este pico se volvería significativo al considerar los espectros de masas de orgánicos más grandes. Utilizando unas matemáticas sencillas, deduje que la relación del $M$ a $(M+2)$ pico es $98.9^{2} : 1.1^{2} \times _nC _2 $ . Me gustaría verificar si esto es correcto. Si no lo es, ¿podría alguien corregirlo publicando una respuesta?

Answer 1

Supongamos que su compuesto es $\ce{C_nH_xO_y}$ . Afortunadamente, tanto el hidrógeno como el oxígeno son elementos que sólo tienen un isótopo significativo en la naturaleza. Por lo tanto, podemos tratar toda la contribución de $\ce{H_xO_y}$ como una constante $c$ . Todo lo que tenemos que responder es cuán grande es el $M+1$ y $M+2$ Los picos tienen el número de carbonos, $n$ . (Este tratamiento no es del todo correcto tal y como lo destaca el ortocresol, pero se aproxima lo suficiente para mis propósitos).

Suponiendo que no tenga ningún enriquecimiento isotópico, cada carbono independientemente tienen la posibilidad de ser $\ce{^12C}$ o $\ce{^13C}$ (de nuevo, ignoraremos todos los demás isótopos como $\ce{^14C}$ ). La independencia es la gran palabra clave aquí. Podemos utilizar los principios generales de la estocástica para calcular el resultado.

La probabilidad de que todos los átomos de carbono de una molécula de su compuesto sean $\ce{^12C}$ es: $$P(\ce{^12C_nH_xO_y}) = 0.989^n$$ El $M+1$ pico está representado por un solo átomo siendo $\ce{^13C}$ . De nuevo, se aplican los principios de la estocástica: $$P(\ce{^12C_{n-1}^13C1H_xO_y}) = \left ( n\atop 1\right) \times 0.989^{n-1} \times 0.011$$ Y finalmente para el $M+2$ pico: $$P(\ce{^12C_{n-2}^13C2H_xO_y}) = \left ( n \atop 2\right) \times 0.989^{n-2} \times 0.011^2$$

De este modo, podemos trazar la probabilidad de cada pico y utilizarla como su altura relativa.

Vemos que desde $n=90$ el $M+1$ es en realidad mayor que el $M$ pico. En $n=128$ incluso el $M+2$ pico será mayor que el $M$ pico. Y desde $n=181$ el $M+2$ El pico se convierte en el mayor de estos tres.

Por supuesto, también empezarán a aparecer otros picos, lo que significa que los espectros de masas de moléculas muy grandes serán difíciles de analizar.

Ahora los números a partir de los cuales $M$ ya no es el pico principal son bastante alrge. A menos que esté sintetizando maitotoxina, probablemente no necesitará recurrir a ningún análisis que no implique sólo $M+1$ .

Answer 2

Tiene razón en todo.

En una muy buena aproximación, se puede pensar que las moléculas están formadas por elementos (con sus respectivas distribuciones isotópicas) que se combinan de forma completamente independiente. Se puede pensar que es como tirar un dado múltiple a la vez. Esto significa que un simple distribución multinomial describirá este problema matemáticamente.

Empecemos con algo fácil y consideremos la hipotética molécula $\ce{C_5}$ . Además, consideremos que los únicos isótopos de carbono con una presencia natural significativa son $\ce{^{12}C}$ (98,9%) y $\ce{^{13}C}$ (1.1%). Podemos encontrar todos los picos isotópicos y sus abundancias relativas expandiendo el binomio $(0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^5$ , donde $m[^{12}C]$ y $m[^{13}C]$ denotan las masas exactas de los isótopos de carbono-12 y carbono-13, respectivamente. Expandiendo el binomio se obtiene

$\begin{equation} \begin{aligned} (0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^5 ={} & \ \ \ \ \ \binom {5} {0}(0.989\times m[^{12}C])^5 \\ & + \binom {5} {1}(0.989\times m[^{12}C])^4 \times (0.011\times m[^{13}C]) \\ & + \binom {5} {2}(0.989\times m[^{12}C])^3 \times (0.011\times m[^{13}C])^2 \\ & + \binom {5} {3}(0.989\times m[^{12}C])^2 \times (0.011\times m[^{13}C])^3 \\ & + \binom {5} {4}(0.989\times m[^{12}C]) \times (0.011\times m[^{13}C])^4 \\ & + \binom {5} {5} (0.011\times m[^{13}C])^5 \\ \end{aligned} \end{equation}$

Calcular los coeficientes de cada término:

$\begin{equation} \begin{aligned} (0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times (m[^{13}C])^5 ={} & \ \ \ \ \ 0.946 \times (m[^{12}C])^5 \\ & + 0.0526\times (m[^{12}C])^4 \times m[^{13}C] \\ & + 0.00117 \times (m[^{12}C])^3 \times (m[^{13}C])^2 \\ & + 0.0000130 \times (m[^{12}C])^2 \times (m[^{13}C])^3 \\ & + 7.24×10^{-8}\times (m[^{12}C]) \times ( m[^{13}C])^4 \\ & + 1.61×10^{-10} \times m[^{13}C])^5 \\ \end{aligned} \end{equation}$

De la expansión, vemos que el 94,6% de todos los $\ce{C_5}$ contienen sólo carbono-12 (la masa más baja posible para la molécula), y casi todo el resto (5,3% del 5,4% restante) corresponde a moléculas que contienen un único átomo de carbono-13. Sólo un 0,1% de $\ce{C_5}$ contienen dos o más átomos de carbono-13.

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Pero, ¿qué ocurre en las moléculas muy grandes? Intuitivamente, si hay muchos átomos, es de esperar que haya una mayor probabilidad de que haya al menos un isótopo menos común en la mezcla. Veamos los primeros términos de la molécula $\ce{C_100}$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} (0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^{100} ={} & \ \ \ \ \ \binom {100} {0}(0.989\times m[^{12}C])^{100} \\ & + \binom {100} {1}(0.989\times m[^{12}C])^{99} \times (0.011\times m[^{13}C]) \\ & + \binom {100} {2}(0.989\times m[^{12}C])^{98} \times (0.011\times m[^{13}C])^2 \\ & + \ ...\\ \end{aligned} \end{equation}$

Cálculo de los coeficientes:

$\begin{equation} \begin{aligned} (0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^{100} ={} & \ \ \ \ \ 0.331 \times (m[^{12}C])^{100} \\ & + 0.368 \times (m[^{12}C])^{99} \times (m[^{13}C]) \\ & + 0.203 \times (m[^{12}C])^{98} \times (m[^{13}C])^2 \\ & +\ ...\\ \end{aligned} \end{equation}$

Qué interesante. Ahora sólo el 33,1% de las moléculas contienen sólo átomos de carbono-12, y de hecho hay más moléculas que contienen exactamente un átomo de carbono-13, con un 36,8% del total. Incluso las moléculas con dos átomos de carbono-13 son bastante abundantes, con un 20,3%.

De hecho, los picos que contienen isótopos más raros acaban dominando. Para la enorme molécula $\ce{C_10000}$ la señal más fuerte del espectro de masas provendría de moléculas que contienen 110 átomos de carbono-13, correspondientes al 3,8% del total, mientras que un mísero $9.2\times 10^{-47}\%$ de moléculas contienen sólo carbono-12. Esto ocurre porque cuando $n$ es grande, el término $\binom {n} {k}$ crece muy rápidamente a medida que $k$ aumenta a partir de cero, abrumando el aumento del exponente del isótopo más raro. Este comportamiento se puede ver muy bien en esta secuencia de espectros de masas de las moléculas con un tamaño creciente.

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Para calcular el valor específico $M/M+2$ para una molécula que sólo contiene $n$ átomos de carbono, todo lo que necesitas es obtener la relación para el primer y tercer término en el binomio:

$\begin{equation} \begin{aligned} (0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^n ={} & \ \ \ \ \ \color{#0000ff}{ \binom {n} {0}(0.989\times m[^{12}C])^n} \\ & + \binom {n} {1}(0.989\times m[^{12}C])^{n-1} \times (0.011\times m[^{13}C]) \\ & + \color{#0000ff}{\binom {n} {2}(0.989\times m[^{12}C])^{n-2} \times (0.011\times m[^{13}C])^2} \\ & +\ ...\\ \end{aligned} \end{equation}$

La proporción es entonces:

$$\frac{\binom {n} {0}0.989^n}{\binom {n} {2}0.989^{n-2} \times 0.011^2}=\frac{2\times 0.989^2}{n(n-1)\times 0.011^2}$$

Técnicamente, esto sólo es válido si no hay otros elementos que contengan múltiples isótopos, aunque se mantendrá aproximadamente si los otros elementos sólo tienen isótopos alternativos muy raros, como el hidrógeno (99,98% de hidrógeno-1, 0,02% de hidrógeno-2).

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Como última curiosidad, todo lo anterior se extiende al análisis de moléculas más complicadas. Por ejemplo, la glucosa ( $\ce{C6H12O6}$ ) tendrá un espectro de masas descrito exactamente por la expresión:

$$(0.989\times m[^{12}C] + 0.011\times m[^{13}C])^6 \times (0.9998\times m[^{1}H] + 0.002\times m[^{2}H])^{12} \times (0.9976\times m[^{16}O] + 0.004\times m[^{17}O] + 0.020\times m[^{18}O])^6$$

¡Feliz expansión!