Bueno, el punto no es la continuidad de la representación (si la continuidad se refiere a la representación, véase el comentario final), pero una relacionada con el hecho más profundo sobre el grupo en sí (aunque algunos vago argumento basado en la continuidad también de la representación es recurrente en la literatura).
Uno también tiene que recordar que (el teorema de Wigner) simetrías están representados por única/antiunitary operadores hasta fases. Esto está de acuerdo con el hecho básico de QM en espacios de Hilbert que (puro) de los estados están representados por vectores unitarios hasta arbitraria de las fases.
Grupos de simetrías , están representadas por los mapas de $G \ni g\mapsto U_g$
donde
(a) $U_g$ está definido hasta una fase y
(b) el requisito relativo a la preservación de la estructura del grupo se hace más débil ($e$ es el elemento neutro de $G$):
$$U_e= e^{i\gamma(e)} I\:,\quad U_g U_f =e^{i\gamma(g,f)} U_{g\circ f}$$
para algunas de las fases relacionadas con las elecciones de la central unitaria de/antiunitary operadores de $U_h$.
Hago hincapié en que, en vista del teorema de Wigner, la única/antiunitary carácter de $U_g$ depende de $g$ (si el espacio de Hilbert tiene dimensión mayor que $1$) por lo tanto, el resto de la ambigüedad
en la fijación del mapa de $g \mapsto U_g$ sólo se refiere a la arbitrariedad de la fase y no el charcter de que el operador $U_g$.
Un mapa satisfactorio (a) y (b) (con una selección precisa de los operadores de $U_g$) se llama unitario proyectiva representación de $G$.
En algunos casos, especialmente cuando se $G$ está equipado con otras estructuras como la Mentira-grupo uno, es posible redefinir los operadores de $U_g$ por medios adecuados fases, $U'_g = \omega_g U_g$, con el fin de acabar con un grupo estándar de representación
$$U'_e= I\:,\quad U'_g U'_f = U'_{g\circ f}\:.$$
Esta es una difícil co-homológica problema con importantes resultados, como Bargmann del teorema, no voy a abordar aquí (Varadarajan del libro de la geometría de QM incluir una lista de relevante y muy delicado resultados en esta área de la teoría del grupo de representación).
Volviendo a la pregunta principal, considere la posibilidad de un grupo de $G$ de manera tal que cada elemento de a $g\in G$ se puede descomponer en el producto de $g= h^2 = h\circ h$. Un trivial, pero físicamente ejemplo fundamental es $\mathbb R$ como aditivo grupo.
A continuación, considere un unitaria representación proyectiva $G \ni g \to U_g$ asociando cada $g$, con una única/antiunitary operador $U_g$.
La relación $g=h\circ h$, tomando (b) en cuenta, implica $$U_g = e^{i\gamma(h,g)} U_h U_h\:.$$
No importa si $U_h$ es unitaria o antiunitary, la composición de la $U_hU_h$ es unitaria y las fases no juegan ningún papel. $U_g$ es necesariamente unitaria aquí!
En particular, todo unitario proyectiva representación de $\mathbb R$ es necesariamente el hecho de unitario operadores (incluso si las fases no son fijos y si la representación no tiene la continuidad de la propiedad). Este es uno de los puntos de partida para formular el quantum de la versión del teorema de Noether.
En resumen, si $G$ es tal que $g= h^2$ por cada $g\in G$ y se asoció a la $h\in G$, entonces cada representación hasta fases debe ser hecha de unitario, los operadores sólo.
El mismo argumento se extiende al caso más complicado
donde $g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$.
Ahora considere una Mentira grupo $G$.
Sólo hay un componente conectado a $G_0$ lo cual es una Mentira subgrupo así, el que contiene el elemento neutro $e$. Por ejemplo, este componente es $SU(2)$ si el grupo completo es $U(2)$, el orthochronous especial de Poincaré grupo para el grupo de Poincaré, $SO(3)$$O(3)$, y así sucesivamente.
En una lo suficientemente pequeño vecindario $A$ (que puede ser fijo para satisfacer $A=A^{-1}$)$e$$G_0$, cada elemento de a $g \in A$ puede ser escrito como $g = \exp(t T)$ algún elemento $T$ de la Mentira álgebra de $G_0$ y algunos $t\geq 0$. Por lo tanto, $g= h^2$ donde $h = \exp((t/2) T)$.
Por último, como para cada topológico conectado grupo, es posible demostrar que $g \in G_0$ es el producto de un número finito (dependiendo $g$) de los elementos en cada vecindario $O$ del elemento neutro, por lo que, teniendo en $A=O$,
$$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$$
Por lo tanto, podemos concluir que
TEOREMA.
Representa en un espacio de Hilbert de dimensión $>1$ una Mentira grupo $G$ en términos de unitario y/antiunitary de operadores fases, de acuerdo con el teorema de Wigner-es decir, por medio de un unitario de representación proyectiva $G\ni g \mapsto U_g$ -- los elementos del componente conectado de $G$ que contiene la identidad sólo puede ser representado por unitario de los operadores.
Antiunitary los operadores pueden surgir a la hora de representar la totalidad de la Mentira de grupo, si tiene más de un componente conectado. En particular, los elementos de conexión de los diferentes componentes pueden ser (pero también puede que no), representado por antiunitary operadores. Un ejemplo típico es el momento de reversión de la operación en $O(3,1)$ que no pertenecen a $SO(3,1)_+$.
Tal vez la continuidad de la propiedad mencionada por Weinberg no se está refiriendo a la representación, pero también a los elementos del grupo. El componente conectado a $G_0$ incluyendo el elemento neutro $e$ es exactamente el hecho de que los elementos de $G$ que puede ser conectado a $e$ por medio de un continuo de la curva de elementos de $G$.
