Hallar la longitud de una diagonal en un hexágono inscrito (no regular)

Question

Me encontré con un viejo problema en el sitio Matemáticas para superdotados . En el hexágono inscrito $ABCDEF$ de superficie $54$ sabemos que AB=CD=EF=5, BC=DE=2, AF=11. Se requiere para encontrar el valor de BE.

Aplicando la fórmula de Bramaguptha a los trapezoides ABEF y BCDE (y pasándosela a Wolfram Alpha...), es posible encontrar la respuesta, pero las fórmulas son muy feas. ¿Hay alguna forma más inteligente de hacerlo?

Answer 1

Teorema de Ptolomeo ayuda.

Sea $|\overline{BE}|=x$ .

Aplicando el teorema al cuadrilátero $CDEB$ obtenemos $$|\overline{CD}|\cdot|\overline{BE}|+|\overline{DE}|\cdot|\overline{CB}|=|\overline{BD}|\cdot|\overline{CE}|$$ Desde $|\overline{BD}|=|\overline{CE}|$ obtenemos $$|\overline{BD}|=|\overline{CE}|=\sqrt{5x+4}$$ Desde $|\overline{DF}|=|\overline{CE}|$ obtenemos $$|\overline{DF}|=\sqrt{5x+4}\tag1$$

Aplicando el teorema al cuadrilátero $CDEF$ obtenemos $$|\overline{CD}|\cdot|\overline{EF}|+|\overline{DE}|\cdot|\overline{CF}|=|\overline{CE}|\cdot|\overline{DF}|$$ así que $$|\overline{CF}|=\frac{5x-21}{2}$$ Desde $|\overline{AD}|=|\overline{CF}|$ obtenemos $$|\overline{AD}|=\frac{5x-21}{2}\tag2$$ donde tenemos que tener $\frac{5x-21}{2}\gt 0,$ es decir $$x\gt\frac{21}{5}\tag3$$

Aplicando el teorema al cuadrilátero $CDFA$ obtenemos $$|\overline{CD}|\cdot|\overline{AF}|+|\overline{AC}|\cdot|\overline{DF}|=|\overline{AD}|\cdot|\overline{CF}|$$ Desde $|\overline{AC}|=|\overline{DF}|$ obtenemos $$55+|\overline{DF}|^2=|\overline{AD}|^2\tag4$$

En $(1)(2)(4)$ tenemos $$55+(5x+4)=\left(\frac{5x-21}{2}\right)^2$$ es decir $$(x-1)(5x-41)=0$$ Se deduce de $(3)$ que $$|\overline{BE}|=x=\frac{41}{5}$$

Answer 2

Dejo a continuación un par de observaciones. Ninguno de los dos califica como " más inteligente ", pero puede ayudar a alguien a encontrar lo que debe ser el solución trucada.

1. El problema está sobredeterminado, en el sentido de que la figura puede resolverse sin conocer la zona. Por ejemplo $r$ sea el radio, y $2a,2b$ los ángulos centrales subtendidos por $AB,BC\,$ entonces:

$$ 2r\sin(a)=5 \\ 2r \sin(b) = 2 \\ 2r \sin(3a+2b)=11 $$

El sistema puede técnicamente resolverse para $r, a, b\,$ y el resto sigue.

2. Sea $BE=x\,$ y sumando las áreas de los dos trapecios se obtiene:

$$ \frac{1}{2}\left(x+11\right)\sqrt{5^2 - \frac{1}{4}(11-x)^2} + \frac{1}{2}\left(x+5\right)\sqrt{2^2 - \frac{1}{4}(x-5)^2}= 54 $$

Tras unos cálculos no tan bonitos, lo anterior se reduce a una ecuación cuártica:

$$ \begin{align} 0 &\;=\; 1825 x^4 + 7820 x^3 - 244362 x^2 - 1594900 x + 16946161 \\ &\;=\; (5 x - 41)^2 \,(73 x^2 + 1510 x + 10081) \end{align} $$

La raíz real única es obviamente la respuesta, pero lo más interesante es que es una raíz doble. Esto parece sugerir que los números elegidos representan algún tipo de "caso límite", y una vez que se reconozca qué tiene de especial, eso probablemente apuntaría a el mejor solución.