Continuidad de las funciones coordenadas

Question

Que $X$ y $Y$ ser espacios topológicos, $X\times{Y}$ con la topología producto y $f$ una función de $X\times{Y}$ a otro espacio topológico. Sé que el hecho de que el % de funciones están continuas para todos los $f(x,.)$ $f(.,y)$y $x\in{X}$ y $y\in{Y}$ no implica que $f$ es continuo, pero simplemente no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

La condición que usted describe se llama continua en cada variable por separado, y usted está en lo correcto; no es suficiente para garantizar la continuidad en el espacio del producto.

Uno convencional contraejemplo es $f \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{casos} $$ A continuación, $f$ es continua en cada variable por separado. De hecho, el único no-obvio rutas de acceso a considerar son:$f(0,y)$$f(x,0)$, y a lo largo de estas líneas $f$ es idéntica a cero. Pero $f$ no es continua en cero; si te acercas a lo largo de la línea de $y=x$ usted obtiene un sendero límite de $\frac{1}{2}$.

Answer 2

Tomar $X,Y = \mathbb{R}$ y $$ f =\begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\ \end{casos}. $$