Pregunta:
$A,B,C$ tres son los no-alineados los puntos acostado en un plano cuyo vector normal es $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$. Si todas las tres coordenadas de cada punto es un número entero, entonces demostrar que el área del triángulo es necesariamente un número irracional.
Mi intento:
No entiendo cómo hacer este problema. Yo sé cómo estos tipos de problemas son tratados en el plano 2D, pero no en el espacio 3D. ¿Alguien puede ofrecer algo de ayuda en la partida pasos? Gracias!
Supongo que el avión en el que los puntos de los laicos es normal al vector $(1,1,1)$. Después de una traducción, podemos suponer que uno de los puntos es $(0,0,0)$ y los otros dos tienen coordenadas enteras: dejar que ellos se $(a,b,c)$$(d,e,f)$. Observe que el área del triángulo puede ser visto como el determinante de la matriz que tiene como columnas $(a,b,c)$, $(d,e,f)$ y $(1,1,1)$, dividido por el doble de la longitud de $(1,1,1)$, ya que es normal que a los otros dos puntos (la idea es que se quiere calcular el volumen de un sólido que tiene como base un cuadrilátero en dos ocasiones, el área que usted está interesado). El determinante de una matriz con coeficientes enteros es un entero, y la longitud de $(1,1,1)$$\sqrt{3}$. De manera que el área es irracional.
Que $\vec{AB}(a,b,c)$ y $\vec{AC}(p,q,r).$
Así, $\{a,b,c,p,q,r\}\subset\mathbb Z$, $a+b+c=p+q+r=0$ y $$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{p^2+q^2+r^2}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{ap+bq+cr}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\right)^2}=$ $ $$=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2)-(ap+bq+cr)^2}=$ $ $$=\frac{1}{2}\sqrt{4(a^2+ab+b^2)(p^2+pq+q^2)-(ap+bq+(a+b)(p+q))^2}=$ $ $$=\frac{1}{2}\sqrt{3(aq-bp)^2}=\frac{\sqrt3}{2}|aq-bp|\not\in\mathbb Q$ $ y hemos terminados!
Vamos a demostrar que si tres no-alineados los puntos en el plano dado han racional de las coordenadas, entonces el área del triángulo con esos puntos como vértices es irracional.
Supongamos $A',B',C'$ tres son los no-alineados los puntos racionales de coordenadas en el plano dado.
Deje $G$ ser el centroide del triángulo $A'B'C'$.
A continuación,$G = {\large{\frac{A'+B'+C'}{3}}}$, por lo tanto $G$ también ha racional de coordenadas.
Deje $A = A'-G,\;\;B=B'-G,\;\;C=C'-G$.
A continuación, $A,B,C$ son cero (como vectores), han racional de coordenadas, y residir en el plano con ecuación $$x+y+z = 0$$ de modo que el vector normal del plano es todavía el vector $n=\langle{1,1,1}\rangle$.
Desde el triángulo $ABC$ es sólo una traducción de triángulo $A'B'C'$, el área permanece el mismo.
Por lo tanto, es suficiente para mostrar el área del triángulo $ABC$ es irracional.
Pero ahora tenemos a $A + B + C = 0$, lo $A = -B-C$.
Deje $k\;$el valor del área del triángulo $ABC$. \begin{align*} \text{Then}\;\;k &={\small{\frac{1}{2}}}|AB\times AC|\\[4pt] &={\small{\frac{1}{2}}}|(B-A)\times (C-A)|\\[4pt] &={\small{\frac{1}{2}}}|(2B+C)\times (2C+B)|\qquad\text{[since%#%#%]}\\[4pt] &={\small{\frac{1}{2}}}|4B{\times}C\,+\,2B{\times}B\,+\,2C{\times}C\,+\,C{\times}B|\\[4pt] &={\small{\frac{1}{2}}}|4B{\times}C\,+\,C{\times}B|\\[4pt] &={\small{\frac{1}{2}}}|3B{\times}C|\\[4pt] &={\small{\frac{3}{2}}}|B{\times}C|\\[4pt] \end{align*} por lo que es suficiente para mostrar $\;A = -B - C$ es irracional.
Pero $|B\times C|$ es un vector distinto de cero racional de las coordenadas, y es paralelo a $B\times C$.
De ello se desprende que $n$, para algún número racional distinto de cero $B\times C = \langle{t,t,t}\rangle$, por lo tanto $t$que es irracional.
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