El análogo de la célebre Lemma de Schur en la teoría de grupos será
"Si $G$ es un grupo simple finito, y $\phi$ es un homomorfismo no identitario de $G$ a $G$ entonces $\phi$ es un isomorfismo".
La prueba sigue exactamente las mismas líneas que en la teoría de la representación.
Me gustaría plantear la siguiente pregunta, que es una inversa del lema de Schur en cierto sentido.
Pregunta 1: Si $G$ es un grupo finito, $|G|>2$ , tal que todo homomorfismo no identitario $\phi\colon G\rightarrow G$ es un automorfismo, debe $G$ ¿es necesariamente simple?
El progreso hacia la solución que hice es el siguiente: si $G$ satisface la hipótesis de la pregunta y $G$ es no abeliana, entonces $G$ no tiene solución: si $G$ es no abeliano, soluble, entonces tiene cociente abeliano no identitario $G^{ab}=G/[G,G]$ . Sea $p$ sea un divisor primo de $|G^{ab}|$ (por lo tanto $p$ también divide $|G|$ ). Entonces existe un homomorfismo suryente de $G^{ab}$ a $C_p$ (grupo cíclico de orden $p$ ). Podemos incrustar $C_p$ sur $G$ . A continuación, considera la composición de los homomorfismos:
$G\rightarrow G^{ab} \rightarrow C_p\rightarrow G$ . Es un homomorfismo no identitario de $G$ a $G$ que claramente no es un automorfismo.
Tenga en cuenta que si $G$ es abeliano, que no es cíclico de orden primo, entonces podemos encontrar fácilmente homomorfismos no identitarios $G\rightarrow G$ que no son automorfismos.
Me gustaría hacer una pregunta general también (eliminar la condición de finitud en la pregunta anterior).
Pregunta 2: Si $G$ es un grupo infinito, tal que todo homomorfismo no identitario $\phi\colon G\rightarrow G$ es un automorfismo, debe $G$ ¿es necesariamente simple?
