Conjunto microcanónico, ergodicidad y ruptura de simetría

Question

En una breve introducción a la mecánica estadística, que forma parte de un curso más amplio sobre Física del Estado Sólido que estoy cursando, el profesor introdujo el concepto de conjunto microcanónico y la hipótesis ergódica, tanto en su formulación general como la equivalencia entre la media sobre el tiempo y la media ponderada sobre el conjunto como en su aplicación al conjunto microcanónico como el hecho de que la función de distribución es constante sobre todos los microestados accesibles correspondientes a una situación de equilibrio. En la conferencia, dejó de alguna manera la idea de que hay algo no del todo claro en esta hipótesis, sin señalar qué.

Estudiando el "Curso de Física Teórica, vol. 5" de Landau-Lifshitz, esta hipótesis se da por errónea de alguna manera, aunque se utilice. Buscando un contraejemplo que demuestre que es errónea, en Wikipedia encontré que los materiales ferromagnéticos en el vacío sufren una ruptura de simetría espontánea, exhibiendo una magnetización y, por lo tanto, un conjunto preferido de configuraciones microscópicas aunque otras, con la dirección opuesta del vector de magnetización, son posibles, incluso en ausencia de cualquier interacción.

Aquí vienen mis preguntas:

• ¿la ruptura de la simetría en los materiales ferromagnéticos por debajo de la temperatura de Curie podría tener lugar debido a algunas interacciones microscópicas con algo que se descuida en nuestra descripción? Lo primero que me vino a la mente son las fluctuaciones del campo electromagnético en el vacío, que tal vez podrían romper localmente la simetría e inducir una ruptura de simetría macroscópica. Equivalentemente, esta pregunta podría reformularse como: ¿existen realmente los sistemas microcanónicos?

• la hipótesis ergódica no dice nada sobre cómo el sistema puede pasar de una configuración microscópica a otra. En mi opinión, si entre una configuración y la otra hay un potencial de barrera lo suficientemente alto, el sistema nunca cambiará de una configuración a la otra, mientras que si estamos despreciando (para los sistemas no microscópicos) las interacciones que pueden proporcionar la energía necesaria para que el sistema cruce esta barrera, entonces el sistema podría explorar también esta segunda configuración. ¿Es posible que la validez de la hipótesis ergódica esté relacionada con la altura de la barrera energética entre las configuraciones microscópicas permitidas? De nuevo en el ejemplo del ferromagnetismo, pasar de una dirección de la magnetización a la otra requerirá una interacción entre los dipolos magnéticos demasiado alta para ser despreciada, lo que hace que la hipótesis ergódica no sea válida.

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EDITAR (12-dic-2017):

Después de estudiar un poco más, este problema parece estar relacionado con lo que tenemos en la descripción de las transiciones de fase de segundo orden dada por Landau (y, en mi caso, aplicada al ejemplo del magnetismo considerado y a la superconductividad). ¿Podría una descripción más completa de las transiciones de fase tener en cuenta el problema de la ruptura espontánea de la simetría? ¿Es algo relevante para nuestro limitado conocimiento del sistema (si conociéramos todos los tipos de interacción, podríamos predecirlos) o es algo mucho más profundo y físicamente significativo?

Answer 1

En primer lugar, le recomiendo que lea las secciones 24 y 25 de Tolman del excelente libro sobre la mecánica estadística. Mi respuesta principalmente a lo largo de las líneas de lo que es en el libro.

El ergodic hipótesis afirma que un sistema eventualmente en algún intervalo de tiempo $T$ visitar todos los estados compatible con una energía dada la restricción. Como usted dijo, esto implica una equivalencia entre el microcanonical promedio del conjunto y el tiempo promedio.

Esta hipótesis fue introducido por Bolztmann y Maxwell en un intento de dar un físico (no estadístico) justificación de la mecánica estadística. El razonamiento es que la mecánica estadística daría una manera de calcular los promedios en el tiempo de las cantidades que se convierte en enlaces con los promedios de muchas repeticiones de un experimento. Entonces, si el ergodic hipótesis podría ser justificada con las leyes de la mecánica clásica, la mecánica estadística no es necesario introducir ningún adicional postulado (el postulado de la igualdad de la probabilidad o de la máxima entropía).

Ahora sabemos que el ergodic hipótesis es errónea por dos razones :

1. La mecánica clásica muestran que los sistemas no explorar todo el espacio de fase correspondiente a una energía dada la restricción, pero sólo un subconjunto de ella. Las trayectorias pueden ser muy grandes, pero no pasan por cada punto. Hay una versión cuántica de la presente declaración.

Sin embargo, si nos vamos a pequeñas perturbaciones del medio ambiente afectan a un sistema, algo así como el ergodicity puede se convierte en verdadera. Esta suposición es realista, ya que ningún sistema puede ser nunca totalmente aislado. Para volver a su ejemplo, un paramagnético (o no ferromagnético) material sería como es ergodic. Explorará la mayoría de los estados debido a las pequeñas perturbaciones electromagnéticas que afectan. Por otro lado, un material ferromagnético que nunca iba a ver como es ergodic porque las pequeñas perturbaciones no puede hacer que el imán cambiar su orientación. Así que tienes razón: los sistemas en los cuales existe una gran barrera de energía entre los estados definitivamente no son ergodic.

2. Incluso en los casos donde algo como el ergodicity se mantiene, el tiempo de recurrencia $T$ puede ser muy grande, en el hecho de ser mayor que la edad del universo.

Por último, a algunas de sus preguntas están más orientados en el concepto de forma espontánea ruptura de la simetría. Usted puede desear mirar en algunas otras respuestas en este problema específico, por ejemplo este.

Answer 2

A mi modo de ver, sus preguntas están estrechamente relacionadas. Imagina un sistema a alta temperatura, que explora rápidamente gran parte de su espacio de fases. Se podría decir que la hipótesis ergódica es correcta en esta situación. Entonces se empieza a reducir la temperatura, y la energía, y puede ocurrir que para energías bajas haya dos regiones en el espacio de fases con la misma energía, pero muy separadas. Entonces el sistema, que se mueve caóticamente, quedará atrapado, al caer la temperatura por debajo de cierto límite, en una de estas regiones. Esto podría verse como una transición de fase y la hipótesis ergódica no sería cierta en un sentido ingenuo (porque no todos los microestados con una energía determinada serían igualmente probables, sino sólo los de la componente conectada que fue "elegida")

Answer 3

Como todo en la física, un conjunto microcanónico es una idealización, útil para empezar y construir alguna intuición.

La física clásica, en la que se puede invocar la ergodicidad para sistemas suficientemente simples, es también una idealización. En la mecánica cuántica, que es la teoría más precisa, la noción de ergodicidad ni siquiera tiene cabida.

Por tanto, tiene usted razón: no hay sistemas microcanónicos. En equilibrio, los sistemas típicos son gran canónicos.

Answer 4

(Nota: tengo formación en materia condensada, por lo que utilizaría sobre todo la terminología de la CMT -- afortunadamente, el ejemplo de la FM que has dado pertenece al área de la CMT).

Tienes varias preguntas, tratando de relacionar las siguientes cuestiones: conjunto microcanónico, ergodicidad, ruptura de simetría espontánea, e incluso la teoría de transición de fase de Laudau. Es demasiado complicado aclararlas todas -- intentaré hacerlo lo mejor posible, y claramente se requiere más discusión en el área de comentarios para llegar a un consenso final...

En primer lugar, algunas de tus preguntas no están realmente bien definidas, por ejemplo, la teoría de Laudau está describiendo fenómenos de ruptura de simetría, que podría ser una transición de segundo orden si el grupo de simetría final es un subgrupo del grupo original. Supongo (no estoy muy seguro) que lo que tienes en mente es que relacionas la transición de fase con la evolución del sistema en tiempo real, lo que entonces parece estar relacionado con la ergodicidad. Sin embargo, la teoría de transición de Landau no tiene nada que ver con la evolución, y es sólo una descripción fenomenológica de los dos lados de la transición de fase, caracterizando el sistema por un parámetro de orden introducido a mano (pero medible), que es un punto de vista estático que siempre está describiendo el sistema después de alcanzar el equilibrio. Para una transición continua de segundo orden, siempre que el grupo de simetría final sea contenedor o esté contenido en el grupo original, la teoría de Landau siempre funciona. (Hoy sabemos que hay algunos ejemplos exóticos, por ejemplo, el punto crítico cuántico desconfinado, el orden topológico, etc.)

Además, volviendo al ejemplo de FM que mencionaste, se trata de la ruptura de simetría espontánea (SSB), que es mucho más complicada: para tener una SSB no se requiere que el sistema elija un conjunto específico de configuración, que es la imagen clásica en tu mente; mientras que mecánicamente cuántica, incluso en un estado de superposición, todavía podrías detectar el orden de largo alcance fuera de la diagonal de cierto parámetro de orden local para saber si hay una SSB o no. Más precisamente, en el caso de la FM, si se observa el Hamiltoniano original de Heissenberg, después de la diagonalización en bloque, el hamiltoniano efectivo en el estado base debe ser una matriz de identidad por un valor de energía constante - esto verifica su pensamiento, que si el sistema fue fijado en una cierta dirección debido a algunas perturbaciones externas o su medición, digamos, de la $S_z$ entonces la evolución en el tiempo de este sistema cuántico lineal nunca podría ir a otras direcciones ya que no hay ningún término fuera de diagonal en el hamiltoniano en absoluto - recuerde, "debido a algo" significa que teóricamente usted realmente podría tener un estado de superposición sin "SSB clásico (es decir, la magnetización total elegir una dirección)" si no hay perturbaciones en absoluto. Sin embargo, este estado de superposición sigue sin ser un "sistema micorocanónico", ya que es un estado puro y la naturaleza de la evolución lineal de QM prohíbe que su trayectoria cubra toda la variedad del estado básico, lo que explico en el siguiente párrafo en detalle. Pero la idea básica de mi explicación anterior es aclarar que el SSB no es un ejemplo adecuado para ayudar a entender la ergodicidad.

En segundo lugar, si existe un, en su palabra, "sistema microcanónico". Bueno, desde el punto de vista estadístico, un conjunto debería estar formado por un número infinito de sistemas. No hay nada llamado "sistema microcanónico" en absoluto. En la física estadística sólo se introduce el término "conjunto microcanónico". Por ejemplo, para una energía dada $E_0$ hay varios estados degenerados, entonces podría hacer varias copias del sistema obligándolas a satisfacer el supuesto de distribución igual, entonces juntas forman un conjunto directamente. Así que no hay que preocuparse por si hay un conjunto; más bien hay que preguntarse si el enfoque de conjunto para un solo sistema es válido o no. Más concretamente, creo que lo que quieres preguntar es: si existe un sistema único (aislado), cuya media temporal puede ser aproximada por una media de conjunto, es decir, si la hipótesis de ergodicidad se cumple allí. Respuesta corta (para un sistema aislado): clásicamente posible, cuánticamente no posible. Clásicamente, se podría encontrar el famoso ejemplo de las partículas libres en una caja de longitud no conmensurada. Pero para un sistema cuántico, la evolución es lineal: $|\Psi(t)\rangle = \sum_i\lambda_ie^{iE_it}|\psi_i\rangle$ donde $E_i$ es la eigenenergía del hamiltoniano - esto claramente no es ergódico. En el caso extremo, se podría simplemente hacer un estado propio en $t=0$ Entonces nunca pasaría a otros estados degenerados. Por lo tanto, al menos, la ergodicidad es imposible para un estado propio de un sistema aislado. De ahí que no sea necesario considerar cosas como la "barrera de energía" en absoluto, si el sistema está realmente aislado.

Pero, ¿significa eso que la perspectiva del conjunto tradicional es completamente inútil, incluso incluyendo los conjuntos canónicos y los grandes conjuntos canónicos que se derivan de los microcanónicos? La verdad es que no. Sin embargo, desde un punto de vista más moderno, hay varias cuestiones complicadas, por ejemplo, la hipótesis de termalización de los estados propios (ETH), el caos cuántico (probablemente... No estoy nada familiarizado con el caos, así que lo obviaré, y puedes preguntar a otro). No sé mucho, pero la ETH ofrece la posibilidad de que, para un subsistema de uno aislado, se pueda seguir utilizando el conjunto canónico para el análisis (pero esta hipótesis se violaría en algunos casos, relacionados con un tema muy candente: la localización de muchos cuerpos).

Hay que mencionar dos cosas más sobre la ergodicidad y la perspectiva de conjunto:

(1) En el mundo real, no hay nada aislado en los experimentos -- aquí la barrera energética sí importa, ya que las perturbaciones externas podrían llevar al sistema a un "equilibrio estadístico" sólo cuando la barrera no es demasiado grande.

(2) Incluso si se idealiza algo aislado, la forma en que se modela teóricamente siempre no es lo suficientemente completa: siempre hay algunos mecanismos de interacción interna que no tenemos en cuenta. Por lo tanto, para examinar la predicción teórica de un experimento, la perspectiva de conjunto tradicional puede seguir aplicándose en muchos casos.

Answer 5

La ruptura de la simetría en los materiales ferromagnéticos por debajo de la temperatura de Curie podría tener lugar debido a algunas interacciones microscópicas con algo que no se tiene en cuenta en nuestra descripción?

No, en realidad no. Tienes una ruptura de simetría espontánea en el modelo de Ising en $d>1$ sin necesidad de ningún término de interacción adicional en el Hamiltoniano.

De forma equivalente, esta pregunta podría ser reformulada como: ¿existen realmente los sistemas microcanónicos?

¿A qué se refiere exactamente con "sistema microcanónico"?

Si te refieres a un sistema con energía y número de partículas fijas, entonces, por supuesto, como todo en la física, esto es una idealización, porque ningún sistema puede ser perfectamente aislado en la práctica.

Sin embargo, el adjetivo "microcanónico" se refiere más a menudo a la microcanónica conjunto . Un conjunto es una colección infinita ideal de copias de un sistema que difieren por su microestado en un instante de tiempo determinado. Un conjunto microcanónico es un conjunto de sistemas con la misma energía $E$ número de partículas $N$ y el volumen $V$ .

En este sentido, el concepto de "conjunto microcanónico" es, por supuesto, una idealización, ya que nunca tendremos acceso a un número infinito de copias del mismo sistema. La utilidad del concepto de "conjunto" reside precisamente en la hipótesis ergódica, que te dice que los promedios tomados sobre este conjunto ideal (que no existe en la práctica) es equivalente a tomar promedios temporales, si el intervalo de tiempo sobre el que se toma el promedio es "suficientemente largo". Así pues, la hipótesis ergódica es, si utilizamos el enfoque de "conjunto", la hipótesis central sobre la que se construye toda la mecánica estadística (1).

La hipótesis ergódica plantea varias cuestiones, la primera de las cuales es el "tiempo suficiente": a veces, el tiempo de relajación de un sistema puede ser extremadamente largo, más que cualquier escala de tiempo que un ser humano pueda medir. Para tales sistemas, ni siquiera podemos saber si la ergodicidad se ha roto realmente o si el tiempo que hay que esperar para que el sistema se termine de calentar es simplemente demasiado grande para que podamos medirlo.

¿Es posible que la validez de la hipótesis ergódica esté relacionada con la altura de la barrera de energía entre la configuraciones microscópicas permitidas?

Absolutamente. Esto es exactamente lo que ocurre es un cristal: si un líquido se enfría lo suficientemente rápido, no podrá cristalizar y quedará atrapado en un estado metaestable que no es su verdadero estado básico a esa temperatura (que es el cristal). El tiempo que debe esperar el sistema para salir de este estado metaestable es aproximadamente proporcional a $\exp(\beta \Delta F)$ , donde $\Delta F$ es la altura de la barrera de energía libre que el sistema debe superar. Así, el tiempo de relajación aumenta exponencialmente con la altura de la barrera; cuando este tiempo es mayor que cualquier tiempo que podamos medir, decimos que la ergodicidad se rompe .

Sin embargo, me gustaría subrayar que lo que realmente estamos diciendo es que la ergodicidad se rompe... para nosotros si esperamos un tiempo "suficientemente grande", el sistema acabará escapando de este estado metaestable y alcanzará su verdadero estado básico. En realidad existe un teorema, llamado Teorema de recurrencia de Poincaré que dice que si un sistema tiene energía y volumen acotados, entonces casi todos el estado inicial será visitado una cantidad infinita de veces durante su evolución dinámica ("casi todas" significa que habrá un conjunto discreto de estados iniciales que pueden violar el teorema). Sin embargo, el tiempo de recurrencia aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema, y como un sistema típico de la vida real contiene algo así como $10^{23}$ partículas obtenemos tiempos de recurrencia que están completamente fuera del dominio de la física (siendo la edad del universo un "mero" $10^{17}$ segundos).

Tomemos como ejemplo su ferromagneto, y más concretamente la descripción del modelo de Ising. Hay dos estados fundamentales posibles: el estado de todos los espines hacia arriba y el estado de todos los espines hacia abajo. Para pasar de un estado fundamental al otro, hay que voltear la mitad de los espines más uno, y la otra mitad le seguirá inmediatamente; el coste energético asociado a esta operación es, por tanto, proporcional a $N/2+1$ , donde $N$ es el tamaño de su sistema (el número de giros). Por lo tanto, el tiempo $\tau$ tendrá que esperar a que una fluctuación haga que su sistema salte de un estado a tierra a otras escalas aproximadamente como $\tau \propto \exp(\beta \epsilon N)$ , donde $\epsilon$ es algo de energía. Esto significa que si $N$ es "suficientemente grande" $\tau$ será mayor que la edad del universo y, por tanto, el sistema tendrá, a efectos prácticos, una ergodicidad rota.

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(1) En realidad, es posible sentar las bases de la mecánica estadística partiendo de afirmaciones más débiles, pero esto es otra cuestión. Echa un vistazo, por ejemplo, al primer capítulo del libro de Landau (Statistical Physics) o a esta pregunta y sus respuestas .