Trillizos y camisetas SU(3)

Question

Estaba leyendo mi profe de notas y llegó a través de un pasaje que yo no entendía:

Considere la posibilidad de un quirales SU(3) la simetría, en virtud de la cual el zurdo partes de la spin-1/2 campos de un fermión-número - la conservación de la teoría tienen un valor fundamental de la representación, mientras que el diestro partes están todos los maillots.

Yo no soy muy fuerte en teoría de grupos, por lo que alguien podría por favor explicar en términos sencillos lo que significa para el zurdo de piezas para transformar como tresillos y de la mano derecha de piezas para transformar como camisetas interiores? ¿Cómo usted va sobre la escritura de tales términos en una de Lagrange?

Muchas gracias

Answer 1

Yo no soy muy fuerte en teoría de grupos, por lo que podría alguien explicar por favor en términos simples, lo que significa para el zurdo de piezas para transformar como tresillos y de la mano derecha de piezas para transformar como camisetas interiores? ¿Cómo sería usted va sobre la escritura de tales términos en una de Lagrange?

Los grupos son abstractas. Tienen elementos que pueden ser "multiplicado" y tienen otras propiedades (por ejemplo, cada elemento tiene una inversa, etc). Representaciones de grupos concretos. Por ejemplo, una matriz de 3x3 podría ser utilizado para representar un resumen elemento de grupo. Las representaciones de los grupos puede ser multiplicado, por ejemplo, las matrices se pueden multiplicar por la matriz multiplicaciones.

Decir, por ejemplo, que tiene tres elementos abstractos de un grupo llamado "a", "b" y "c". Y decir que $$a\cdot b=c$$

Decir, también, que tiene una representación específica de los tres antes mencionados de los elementos del grupo, de la representación de ser matrices 3x3 llama: R(a), R(b), y R(c). A continuación, desea que la misma multiplicación de reglas para conseguir la representación como para el propio grupo, a saber: $$R(a)\cdot R(b)=R(c)\;,$$ donde el$\cdot$, significa que ahora la multiplicación de la matriz.

Para cada elemento en el grupo debe haber algún elemento en la representación del grupo, y la multiplicación de las reglas que sostienen que los elementos del grupo debe contener los elementos de la representación.

La representación de grupo no tiene que ser matrices 3x3. Hay un número infinito de diferentes representaciones de un grupo.

Una interesante representación es 1. I. e., la representación en la que cada elemento del grupo es representado por 1. Esto es trivial, ¿verdad? Sí, por eso es llamado el "trivial de la representación". Pero funciona porque, supongamos que $a \to 1$, $b \to 1$, y $c \to 1$. Entonces $$a\cdot b = c \1\cdot 1 = 1$$ lo cual es cierto.

Para que cada grupo tenga una mínima representación.

Cuando decimos que algo "se transforma en" una representación del grupo, nos referimos a que se multiplica por una representación del grupo en el grupo de transformación. Si algo se transforma como un singlete es la transformación en virtud de la representación trivial. I. e., esto se multiplica por 1. I. e., no transforma.

Por otro lado, la transformación de los objetos en virtud de la fundamental de la representación de SU(3) se multiplica por 3x3 especial unitaria de las matrices. I. e., los objetos de transformación en virtud de esta representación son como 3x1 vectores columna. I. e., trillizos. Parece ser comentarista en su pregunta que es confuso este tema.

Hay otras representaciones de lado lo trivial y lo fundamental. Como he dicho antes hay un número infinito de representaciones. En el caso de SU(3) hay también un número infinito de irreductible representaciones... pero una discusión de este punto está más allá del alcance de esta respuesta.

Answer 2

Un spinor tiene dos componentes que describe su transformación en virtud de una transformación de lorentz, clasificados por dos índices de $\Psi_{a\dot{b}}$, la primera se transforma en virtud de la parte izquierda del grupo de lorentz $SO(1,3)\approx SU(2)_L \otimes SU(2)_R$ (en más detalle $\Psi_{a\dot{b}}\rightarrow L(\Lambda)_a^{a'} R(\Lambda)_\dot{b}^{\dot{b}'}\Psi_{a'\dot{b}'}$ donde $\Lambda$ es la transformación y $L$ $R$ son las representaciones).

Porque también tenemos un global $SU(3)$, el spinor también tiene un índice adicional $I$ describe cómo se transforma en virtud de un $SU(3)$ elemento $G$ con cualquier representación $M$, es decir, $\Psi_I\rightarrow M(G)_I^J \Psi_J$

En el ejemplo tenemos dos spinors, el zurdo triplete $\chi_{a\dot{b}I}$ donde $L(\Lambda)_a^{a'}$ actúa como el $SU(2)_L$ doblete, $R(\Lambda)_{\dot{b}}^{\dot{b}'}=\delta _{\dot{b}}^{\dot{b}'}$ el $SU(2)_R$ singlete, y $I\in \{1,2,3\}$, de modo que $M(G)_I^J$ es sólo en los fundamentales de la representación de $SU(3)$, es decir, un $3\times 3$ especial unitaria de la matriz. El segundo es el de la mano derecha singlete $\eta_{a\dot{b}I}$, por lo que $L_a^{a'}=\delta_a^{a'}$ $R$ $SU(2)_R$ doblete, y $M(G)_I^J=\delta_I^J$ es sólo el singlete de $SU(3)$.

En otras palabras se transforman en virtud de una combinación de lorentz y $SU(3)$ transformación como $$\begin{align} \chi_{a\dot{b}I}&\rightarrow L_a^{a'}(\Lambda)M_I^J(G)\chi_{a' \dot{b} J}\\ \eta_{a\dot{b}I}&\rightarrow R_{\dot{b}}^{\dot{b}'}(\Lambda)\eta_{a' \dot{b} I} \end{align}$$