Necesito demostrar que el círculo de la unidad es camino conectado y conectado. Pude mostrar que este conectado, $f:[0,2\pi] \to \mathbb{R}^2$, $f(x)=(r\cos x,r \sin x)$ que es una función continua. El intervalo de $[0,2\pi]$ está conectado y se conecta la imagen continua de un sistema conectado. Así el círculo de la unidad está conectado. No estoy seguro de cómo probar la ruta de conectividad, que es la condición más fuerte. ¡Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Su función $f$ puede utilizarse para demostrar que el círculo unitario es trayectoria-conectado: pick $\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$ en el círculo unitario. Ya que su $f$ es sobre, existe $a,b\in [0,2\pi]$ tal que $f(a)=\mathbf{x}$, $f(b)=\mathbf{y}$. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $a\lt b$. Entonces considere un mapa $g\colon[0,1]\to[a,b]$ de $g(t) = a+t(b-a)$. Entonces considere la función $f\circ g\colon [0,1]\to \mathbf{C}$.
Zeba
Puntos
16
Hummm, yo no soy un hablante nativo de inglés, así que estoy un poco perdido sobre el vocabulario matemático, pero voy a intentar mi mejor esfuerzo.
Para probar que el círculo unidad está conectada, se puede también decir que "la única subconjuntos de la unidad de círculo, que son a la vez abierto y cerrado son el círculo completo y el conjunto vacío". Lo que es evidente cuando se piensa en ello.
Para la ruta de acceso de la conexión, me estoy tomando la definición : un conjunto es el camino connnected si, para cualquier par de puntos que usted puede hacer un camino (función continua en$[0,1]$) que los une.
Básicamente, para los dos puntos de $a_1$ $b_1$ de tu comentario, $f(x)=(r\cos(t*(x_2-x_1)+x_1),r\sin(t*(x_2-x_1)+x_1))$ es un camino que une estos dos puntos ($f(0) = a_1 \text{ and } f(1)=b_1$).
P. S : Este es mi primer post, así que ¿dónde puedo encontrar las preguntas más frecuentes acerca de cómo escribir expresiones matemáticas correctamente?
hengxin
Puntos
867
En general, la unidad de la esfera de $S^{n-1}$ $\mathbb{R}^{n}$ definido por la ecuación $S^{n-1} = \{ \mathbf{x} \mid ||\mathbf{x}|| = 1 \}$ es la ruta de acceso conectado al $n > 1$. El círculo unidad en el problema está el caso especial cuando $n = 2$.
La justificación que se da en Munkres de la Topología en dos ejemplos (de los Ejemplos 4 y 5 de la sección 24 "Conectado Subespacios de la Línea Real", 2ª edición).
En primer lugar, demostrar que la perfora el espacio euclidiano se define como $\mathbb{R}^{n} \setminus \{ 0 \}$ es la ruta de acceso conectado al $n > 1$: Dados dos puntos cualesquiera $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ diferente de la $0$, podemos unirnos a ellos por el de línea recta, camino de $f: [0,1] \to \mathbb{R}^{n} \setminus \{ 0 \}$ definido por $f(t) = (1-t) \mathbf{x} + t \mathbf{y}$ si el camino no pasa por el origen. De lo contrario, los dos puntos que pueden ser acompañados por los dos caminos a través de un tercer punto.
Entonces, para mostrar que la unidad de la esfera de $S^{n-1}$ es la ruta de acceso conectado al $n > 1$. Considerar el mapa de $g: \mathbb{R}^{n} \setminus \{ 0 \} \to S^{n-1}$ definido por $g(\mathbf{x}) = \mathbf{x} / ||\mathbf{x}||$. $g$ es continua y surjective. La conclusión se deduce del hecho de que la imagen continua de un camino conectado espacio es el camino conectado.
