¿Se definen los mapas lineales de manera 1-1 fijando su núcleo e imagen? En otras palabras, si tengo un espacio vectorial, y defino un conjunto para que sea el núcleo de mi posible mapa lineal, y otro conjunto para que sea su imagen. ¿Obtendría un mapa lineal bien definido y único? (Dado que mi Ker e Im están bien, por ejemplo, las dimensiones están bien, etc.) Tengo la siguiente tarea: Sea T un mapa lineal en R^4. Dado que espacio_ortogonal_de(k e rT) = { (1, 2, 0, 4) , ( 1, 0,1, 0) }, y T(1,0,1,1)=(1,2,1,1), dar un ejemplo de tal T ("no hay que encontrar explícitamente T(x1,x2,x3,x4)"). ¿Alguna idea de cómo hacerlo (cómo puedo caracterizar un mapa lineal T sin encontrar una fórmula explícita para él?) He pensado en encontrar su Ker e Im, pero eso no funciona. ¿Alguna idea?
Respuestas
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No. Un mapa lineal $f : V \to W$ está determinada de forma única por las imágenes de una base de $V$ . Considere la posibilidad de $\mathrm{Ker} \, f$ y $\mathrm{Im} \,f$ . Cuando se define $\mathrm{Ker} \, f$ , está especificando las imágenes de algunos elementos de una base. (Supongamos $V$ es de dimensión finita, $\mathrm{Ker} \, f = \langle v_1, \cdots, v_k \rangle$ con $\{v_1, \cdots, v_k\}$ linealmente independientes, y extender este conjunto de vectores a una base $\{v_1, \cdots, v_n\}$ ). Si $\mathrm{Ker} \, f \neq V$ es decir, si $f \neq 0$ , todavía tienes algunos elementos de la base que tienes que mapear en algún lugar para determinar la transformación lineal: $v_{k+1}, \dots, v_n$ .
Supongamos que tenemos un mapa lineal de este tipo, con $f(v_{i}) = y_i$ para todos $i \in {k+1, \dots, n}$ y $\mathrm{Im} \,f = \langle y_{k+1},...y_n \rangle$ . Entonces tienes un par de formas en las que podrías obtener un mapa lineal diferente manteniendo $\mathrm{Ker} \, f$ y $\mathrm{Im} \,f$ para cualquier $i \in {k+1, \dots, n}$ se podría redefinir $f(v_{i}) = k\cdot y_i$ con $k$ cualquier escalar, o $f(v_{i}) = y_j$ con $j \in {k+1, \dots, n}$ tal que $y_j \neq y_i$ o incluso definir $f(v_{i})$ sea una combinación lineal de los vectores de la imagen. Es decir, es muy fácil cambiar un mapa lineal y mantener la imagen y el núcleo.
Un ejemplo muy sencillo: considere $f(x) = 2x$ y $g(x) = 3x$ dos mapas lineales $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $\mathrm{Ker} \,f = \mathrm{Ker} \,g = {0}$ y $\mathrm{Im} \,f = \mathrm{Im} \,g = \mathbb{R}$ .
Para responder a su segunda pregunta: No se puede únicamente determinar dicho mapa, pero hay muchos. Dado que usted tiene $\mathrm{Ker} \,f$ (primero hay que calcular el complemento ortogonal del subespacio dado), elegir una base del mismo, añadir el otro elemento cuya imagen se conoce ( $(1,0,1,1)$ ) y sumar vectores para obtener una base de $\mathbb{R}^4$ . A continuación, elija cualquier imagen para los vectores sobre los que no tenga ninguna otra condición. Lo importante es: un mapa lineal está determinado unívocamente por las imágenes de los elementos de una base del dominio, así que podrías dar una respuesta de la siguiente forma, sin calcular una ecuación explícita para $T(x_1,x_2,x_3,x_4)$ :
$\begin{cases} T(v_1) = y_1\\ T(v_2) = y_2\\ T(v_3) = y_3\\ T(v_4) = y_4 \end{cases}$ , donde $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ es una base de $\mathbb{R}^4$ .
