¿Son productos del tensor cancellative?

Question

Deje $k$ ser un campo, $F \subseteq k$ un subcampo, y $A_0$ un finitely generadas $F$-álgebra. A continuación, $k \otimes_F A_0$ es un finitely generadas $k$-álgebra. Si $B_0$ es otro finitely generadas $F$-álgebra, y existe cierta $k$-álgebra isomorfismo $\phi:k \otimes_F A_0 \rightarrow k \otimes_F B_0$, $A_0$ $B_0$ tienen que ser isomorfo como $F$-álgebras? O, al menos, $F$- espacios vectoriales?

Sé que si $\phi$ fueron inducidos por algunos de los actuales homomorphism $A_0 \rightarrow B_0$, la demanda seguiría a los fieles planitud. Si $\phi$ es de cualquier edad isomorfismo, yo no estoy tan seguro. ¿Qué te parece?

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos $k = \mathbb{R}, F = \mathbb{C}$. El $\mathbb{R}$-álgebras $\mathbb{H}$ $M_2(\mathbb{R})$ son nonisomorphic, pero ambos de ellos complejizar a $M_2(\mathbb{C})$. Para un conmutativa ejemplo, $\mathbb{C}$ $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ tanto complejizar a $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$.

Si $k \to F$ es una extensión de Galois, luego de las preguntas de este formulario caen bajo la rúbrica de lo que se llama Galois descenso. Si $A$ $F$- álgebra, a continuación, $k$- álgebras $A_0$ tal que $A_0 \otimes_k F \cong A$ son llamados a$k$-formas de $A$, y, en general, estos no necesitan existir o ser único.