Que $f\in \mathbb Q[x]$ sea un polinomio monic irreducible de grado $n$y que $\alpha,\beta\in \overline{\mathbb Q}$ ser dos raíces distintas de $f$. ¿Es posible encontrar un límite inferior en el grado de $\alpha-\beta$? Por corazón, mi reclamo es que $$ [\mathbb Q (\alpha-\beta): \mathbb Q] \geq \frac n2 $$ la pregunta original con destino al grado refiere la misma reclamación para los campos arbitrarios. Si la afirmación es falsa, ¿puede alguien encontrar un límite, si existe?
Respuesta
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Es posible que $\alpha-\beta$ es algebraicas de grado $<n/2$.
Como ejemplo puedo ofrecer $$ \alpha=\sqrt5+\sqrt3+\sqrt2,\quad\beta=\sqrt5+\sqrt3-\sqrt2. $$ Aquí $\alpha$ $\beta$ son tanto conjugar elementos primitivos de $\Bbb{Q}(\sqrt5,\sqrt3,\sqrt2)$ - grado ocho de extensión. Sin embargo, $\alpha-\beta=2\sqrt2$ es una raíz de una ecuación cuadrática.
Se espera que sea claro cómo extender el ejemplo anterior, para un caso en el que $f(x)$ tiene el grado $2^\ell$ para cualquier entero positivo $\ell$ tal que $\alpha-\beta$ genera una ecuación cuadrática extensión sólo.
Como MooS señaló $\alpha-\beta$ no puede ser racional, por lo $[\Bbb{Q}(\alpha-\beta):\Bbb{Q}]=2$ es tan baja como sea posible. En aras de la exhaustividad, permítanme recapitular un argumento. Si $\alpha-\beta=q\in\Bbb{Q}$, luego $\beta=\alpha-q$. Por lo tanto, $\alpha$ es un cero de dos monic polinomios con coeficientes racionales, $f(x)$$f(x+q)$. Porque estamos en característica cero $f(x)$ $f(x+q)$ son distintos (mira los coeficientes de grado $n-1$ términos). Por lo tanto, su máximo común divisor tiene un menor grado, y debe ser no trivial, dado que ha $\alpha$ como una raíz.
Ver el vinculado cuestión de saber por qué el supuesto de característica cero es esencial.
