Equivalencia de las representaciones de series de Fourier

Question

Deje $f : \Bbb{R} \to \Bbb{C}$ $2\pi$- periódico de la función tal que $$ \int_0^{2\pi} |f(t)| \,dt < \infty $$

Definir $$ \hat{f}(k) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-i k t} \,dt $$

La serie de Fourier de $f$ es entonces $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{tic'} \etiqueta{1} $$

Si definimos $$ a_k := \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(kt) \,dt \quad (k \geq 1) \\ b_k := \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(kt) \,dt \quad (k \geq 1) $$ entonces la serie de Fourier de $f$ toma la forma $$ \hat{f}(0) + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kt) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sen(kt) \etiqueta{2} $$

En el paso de $(1)$$(2)$, tengo la siguiente pregunta (me llevó a pensar que la respuesta es sí, pero no han tenido éxito en la prueba):

Si $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left\{\hat{f}(n)[\cos(nt)+i\sin(nt)] + \hat{f}(-n)[\cos(nt)-i\sin(nt)]\right\} = \sum_{k=1}^{\infty} [a_k \cos(kt) + b_k \sen(kt)] $$ converge a continuación, no todos los cuatro de la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty}\hat{f}(n)[\cos(nt)+i\sin(nt)] \\ \sum_{n=1}^{\infty}\hat{f}(-n)[\cos(nt)-i\sin(nt)] \\ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kt) \\ \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sen(kt) $$ convergen?

Answer 1

Podemos definir la serie de Fourier a la descripción $\mathfrak{F}$, y puede ser escrita de la siguiente manera:

$$ \begin{aligned} \mathfrak{F}(\hat{f}(k))&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}(k)e^{ikt} \\&= \sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{f}(k)e^{ikt} +\hat{f}(0)+ \sum_{k=1}^{\infty} \hat{f}(k)e^{ikt} \\&= \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{-} +\hat{f}(0)+ \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{+} \end{aligned} $$

donde $\mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{+}$ es de suma en el lado positivo y $\mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{-}$ es el lado negativo. Estas sumatorias tienen una siguiente relación:

$$ \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{-}=\mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{+} $$

Por lo tanto, estos cuatro series se pueden derivar de la siguiente manera:

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty}\hat{f}(k)[\cos(kt)+i\sin(kt)] =& \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{+} \\ \sum_{k=1}^{\infty}\hat{f}(-k)[\cos(kt)-i\sin(kt)] =& \mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{+} \\ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kt) =& \cfrac{1}{2}\biggl[ \mathfrak{F}(\hat{f}(k)) + \mathfrak{F}(\hat{f}(-k)) \biggr]-\hat{f}(0)\\ \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(kt) =& \cfrac{1}{2}\biggl[ \mathfrak{F}(\hat{f}(k)) - \mathfrak{F}(\hat{f}(-k)) \biggr] \end{aligned} $$

donde el ejemplo de derivación:

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kt) =& \sum_{k=1}^{\infty} \biggl[ \cfrac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\cos(kt)dt \biggr] \cos(kt) \\=& \sum_{k=1}^{\infty} \biggl[ \cfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}f(t)(e^{ikt}+e^{-ikt})dt \biggr] \frac{e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}\\=& \cfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \bigl( \hat{f}(-k)+\hat{f}(k) \bigr) (e^{ikt}+e^{-ikt}) \\=& \cfrac{1}{2} \Biggl[ \sum_{k=1}^{\infty} \hat{f}(-k)e^{ikt} + \sum_{k=1}^{\infty} \hat{f}(-k)e^{-ikt} + \sum_{k=1}^{\infty} \hat{f}(k)e^{ikt} + \sum_{k=1}^{\infty} \hat{f}(k)e^{-ikt} \Biggr] \\=& \cfrac{1}{2}\biggl[ \mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{+} + \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{-} + \mathfrak{F}(\hat{f}(k))_{+} + \mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{-} \biggr] \\=& \cfrac{1}{2}\biggl[ \mathfrak{F}(\hat{f}(k)) + \mathfrak{F}(\hat{f}(-k)) \biggr]-\hat{f}(0). \end{aligned} $$

Debido a que el problema de la descripción de la función finita de la norma, y la identidad de Parseval muestra de que la norma de la serie de Fourier y la función $f(t)$ corresponden.

$$ \begin{aligned} \|\mathfrak{F}(\hat{f}(k))\|_{2}^{2}=& \|\mathfrak{F}(\hat{f}(-k))\|_{2}^{2}\\=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(t)|^2dt < \infty \end{aligned} $$

Por lo tanto, la transformada de Fourier de la serie es convergente, de modo que $\|\mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{+}\|_{2}^2$ $\|\mathfrak{F}(\hat{f}(-k))_{-}\|_{2}^2$ son finitos, y, finalmente, por encima de cuatro series también son convergentes.

Answer 2

1. Si $f=f_{e}+f_{o}$, $f_{e}$ es incluso y $f_{o}$ es impar, entonces $$ f(x)=f_{e}(x)+f_{o}(x)$$ $$ f(-x)=f_{e}(x)-f_{o}(x) $$ A continuación, $f_{e}=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\ f_{o}=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

2. Si $f\in L^{1}([0,2\pi])$$f_{o},\ f_{e}\in L^{1}([0,2\pi])$. Así, tenemos que la transformada de fourier de las expansiones: $$ f(x)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kt)) $$ $$ f_{o}(x)=\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}'\sin(kt) $$ $$ f_{e}(x)=a'_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}a'_{k}\cos(kx) $$ Desde $f=f_{o}+f_{e}$ y por la singularidad de la expansión de fourier podemos ver que $a_{k}=a_{k}',\ b_{k}=b_{k}'$. Por eso, $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\cos(kt)$ $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\sin(kt)$ converge.

3. Poner $S=\sum_{n=1}^{\infty}\hat{f}(n)[\cos(nt)+i\sin(nt)],\ T=\sum_{k=1}^{\infty}(-b_{k}\cos(kx)+a_{k}\sin(kt))$. Ya que para $k>0$ $\hat{f}(k)=a_{k}-ib_{k}$, tenemos $$ S=\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kt))+iT$$ Si $S$ converge para todos $f\in L^{1}([0,2\pi])$, $T$ también converge para tal $f$, pero en este artículo se dice que hay funciones para la cual $T$ no converge.

Answer 3

Un intento:

Desde la elección de $t=0$ obtenemos que $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ converge. Utilizando el criterio de dirichlet para la convergencia, podemos ver que $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(kt)$ converge. Ahora $\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(kt)$ tiene que convergen, así, de lo contrario obtendríamos una contradicción con convergencia de $\sum_{k=1}^{\infty} [a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)]$.