¿La posibilidad de la palabra para ser de letras diferentes?

Question

Una palabra de cuatro letras está escrito tomando las letras de la palabra KANYAKUMARI.¿Cuál es la probabilidad de que la palabra de todos los diferentes letras?

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Desde KANYAKUMARI tiene K,K,a,a,a,N,Y,U,M,R,I cartas en las que hay 2 K y 3.La posibilidad de que la palabra de cuatro letras de todas las diferentes cartas de$=\frac{m}{n}$donde $m=\binom{8}{4}$,porque hay 8 diferentes letras K,a,N,Y,U,M,R,I. y $n=\binom{11}{4}$.Así que la probabilidad de$=\frac{7}{33}$,pero la respuesta correcta es $\frac{840}{1109}$.No sé donde he cometido el error.Por favor me ayude.

Answer 1

Usted tiene que tomar permutaciones en cuenta.

Si tomamos las 8 letras diferentes, habrá distintas palabras de $\binom{8}{4}*4!= 1680$

Si tomamos todas las 11 cartas, el número de palabras distintas se dará por:

coeficiente de $x^4$ $4!(1+x)^6(1+x+x^2/2!)(1+x+x^2+x^3/3!)= 2218$

[O bien enumerar palabras que son $3-1$ de una clase, $2-2$ de una clase, $2-1-1$ de una clase, etcetera]

$Pr = \dfrac{1680}{2218} = \dfrac{840}{1109}$

Answer 2

Siguiente Andre Nicolás sugerencia, pensamos en las letras como en el de 11 "Scrabble" azulejos, con todas las combinaciones de azulejos igualmente probables, y con los azulejos de la Una (y K) pintadas con diferentes colores.

Desde cada una selección de 4 azulejos se pueden organizar en $4!$ formas, podemos hacer caso omiso a la orden de los azulejos,

así, obtenemos la probabilidad de que las 4 cartas son distintas, está dada por

$\hspace{.3 in}\displaystyle\frac{\binom{6}{4}+2\binom{6}{3}+3\binom{6}{3}+6\binom{6}{2}}{\binom{11}{4}}=\frac{205}{330}=\frac{41}{66}$

considerando los casos

$\;\;\;\;$1) no, no K s $\;\;$2) 1K, no Un $\;\;$ 3) 1, no K $\;\;$ 4) 1A, 1K

Answer 3

Los casos favorables

Aquí tenemos a $8$ distintas letras , Entonces no va a ser $\displaystyle \binom{8}{4}\times 4! = 1680$

Aquí $\bf{KANYAKUMARI}$ contienen $\bf{2K,3A,N,Y,U,M,R,I}$

Ahora no Total. de los casos

$\bullet\; $ Si todas las letras son diferentes, Entonces tomaremos $4$ letras diferentes

Así que total no. de acuerdo $\displaystyle = \underbrace{\binom{8}{4}}_{\bf{select\; 4\; diff.\; letters}}\times \underbrace{4!}_{\bf{arrange\; these\; 4\; letters}}$

$\bullet\; $ Si $2$ letras son lo mismo y lo otro $2$ letras son diferentes.

Así que vamos a tomar un $1$ par de carta de $2$ par de carta y otros $2$ $7$ letras diferentes

Así tatal no. de maneras $\displaystyle =\underbrace{\binom{2}{1}\times \binom{7}{3}}_{\bf{selection \; of \; letters}}\times \underbrace{\frac{4!}{2!}}_{\bf{arrangement\; of\; letters}}$

$\bullet\; $ Aquí $2$ mismas letras son de la misma especie y otros $2$ son del mismo tipo

Así tatal no. de maneras $\displaystyle \underbrace{\binom{2}{2}\times \binom{6}{2}}_{\bf{selection \; of \; letters}}\times \underbrace{\frac{4!}{2!\times 2!}}_{\bf{arrangement\; of\; letters}}$

$\bullet\; $ Aquí $3$ misma letra son de la misma especie y otros $1$ letra es diferente

Así tatal no. de maneras $\displaystyle = \underbrace{\binom{1}{1}\times \binom{7}{1}}_{\bf{selection \; of \; letters}}\times \underbrace{\frac{4!}{3!}}_{\bf{arrangement\; of\; letters}}$

Así que Total no. de maneras $\displaystyle $ Suma de todos los anteriores casos $\displaystyle =2218 $

Así lo Exige la probabilidad de $\displaystyle = \frac{\bf{favourable\; cases}}{\bf{Total\; no.\; of \; ways}}$

Answer 4

Vamos a ver es un poco diferente.
Suponga que tiene una bolsa de bolas. La distribución del color es

6 White
3 Red
2 Blue

¿Cuál es la probabilidad eso si agarras 4 bolas al azar, sin reemplazo, que usted tiene no más que una bola roja y bola azul no más de una?

Edit: Esto sólo funcionará si la pregunta original no permite la reutilización de las letras. No estoy seguro de cómo actualmente es expresado.