Grupo nilpotente finitamente generado es finito

Question

Que $G = \langle g_1,g_2,\ldots,g_m\rangle$ sea un grupo nilpotente, donde cada $g_i$ tiene orden finito. Prueba $G$ es finito.

Me gustaría mostrar esta demostrando que la serie central inferior tiene cocientes sucesivos que son finitos, es decir,

$$|\gamma_n(G) / \gamma_{n+1}(G)| < \infty$$

Voy a demostrarlo por inducción. Estoy en el caso base

$$\gamma_1(G)/\gamma_2(G) = G/[G,G]$$

¿Cualquier razón por qué esto debe ser finito? ¿Cualquier idea cómo yo puedo argumentar que $\gamma_{n+1}(G) / \gamma_{n+2}(G)$ debe ser finito en el paso inductivo, suponiendo que $\gamma_n(G) / \gamma_{n+1}(G)$ es finito?

Answer 1

Consejo: paso de inducción primer: $G/[G,G]$ es un grupo abelian que hereda cada elemento habiendo orden finito y finitamente generados. Por lo tanto, este grupo debe ser finito. Ahora mira $\gamma_2(G)/\gamma_3(G)$. Este grupo es abeliano y tiene índice finito (por el paso anterior) en $G/\gamma_3(G)$. Puesto que también finitamente generado $G/\gamma_3(G)$, $\gamma_2(G)/\gamma_3(G)$ debe finitamente generado. Otra vez $\gamma_2(G)/\gamma_3(G)$ es un Grupo abeliano finitamente generado con todos los elementos de orden finito, donde finito. ¿Puede terminar?

Answer 2

Esto es un problema porque no uso de la inducción directamente, sino que probarlo en varios pasos (sólo uno de los cuales requiere la inducción):

Paso 1: Si $N\trianglelefteq G$ tal que $[G,N]\le Z(G)$ y el tanto $N$ $G$ son generados por un número finito de elementos finitos para, a continuación, $[G,N]$ también es generado por un número finito de elementos finitos de orden.

(Esto puede ser probado por el conmutador de la aritmética.)

Paso 2: Para $G$ como en el anterior, todos los elementos de la parte inferior central de la serie son generados por un número finito de elementos finitos de orden.

(Esa es la parte que requiere la inducción, pero por lo demás es una consecuencia trivial de paso 1).

Paso 3: Una abelian grupo generado por un número finito de elementos de orden finito es finito.

(Esto es trivial).

Poner los tres pasos juntos resuelve el problema.