¿Es la cardinalidad de un conjunto necesariamente un número natural?

Question

Nunca he visto frases como "$\sqrt{5}$ gente" o "un conjunto con $\pi$ muchos elementos". ¿Son hay conjuntos de cardinalidad, digamos, $\frac{1}{2}$?

Edición: Como señala Brian M. Scott, los números verdaderos solamente cardinalities de conjuntos que son los enteros no negativos. ¿Podría explicar por qué es así?

Answer 1

Fundamentalmente, los cardenales y los números reales son cosas diferentes. Usted puede pensar que la cardinalidad de un conjunto, como algunas objeto abstracto ("el cardenal") asignado a la misma, de tal manera que los dos conjuntos se le ha asignado el mismo cardinal si y sólo si hay un bijection entre ellos.

Pero no es una forma natural para identificar el finito cardenales con los números naturales, es decir, identificar a un cardenal $a$ con el número natural $n_a$ de manera tal que el conjunto $\{1, 2, \dots, n_a\}$ tiene cardinalidad $a$ (es decir, cualquier otro conjunto de cardinalidad $a$ tiene un bijection con $\{1,2,\dots, n_a\}$ y cualquier otro conjunto de cardinalidad $a$). (En este debate, "números naturales" incluye a 0.) Esta es una buena identificación porque hace que el cardenal aritmética coincide con la media aritmética de los números naturales. Por ejemplo:

• Pedidos: $n_a \le n_b$ si y sólo si cualquier conjunto de cardinalidad $a$ tiene una inyección en cualquier conjunto de cardinalidad $b$

• Además: Si $A,B$ son distintos y tienen cardinalidades $a,b$ respectivamente, entonces la cardinalidad $c$ de su unión,$C = A \cup B$$n_c = n_a + n_b$.

• Multiplicación: Si $A,B$ han cardinalidades $a,b$ $C = A \times B$ tiene cardinalidad $c$,$n_c = n_a n_b$.

• Exponentes: Si $A,B$ han cardinalidades $a,b$, e $C = A^B$ es el conjunto de todas las funciones de$B$$A$,$n_c = n_a^{n_b}$.

Uno podría imaginar un sistema que identifica otros (infinito) de los cardenales con los números reales distintos de los números naturales. Por ejemplo, nadie podría detenerme, desde la propuesta de un sistema en el que la cardinalidad $\aleph_0$ del conjunto de números enteros es identificado con el número real $22/7$. Pero este sistema no tiene las propiedades mencionadas anteriormente. Por ejemplo, $22/7 \le 4$, pero no hay inyección de$\mathbb{Z}$$\{1,2,3,4\}$, e $\mathbb{Z} \times \{1,2,3,4,5,6,7\}$ definitivamente no tienen la misma cardinalidad como $\{1,2,\dots, 21,22\}$. De hecho, no es difícil ver que no habría ninguna manera de identificar infinito cardenales con números reales para preservar la anterior lista de propiedades.

Las propiedades anteriores son muy útiles, y así, en orden a garantizar su conservación, por lo general, no intentar identificar cualquier otra números reales con los cardenales. En principio, no podría ser otro sistema que, a pesar de que no satisfacen las propiedades anteriores, había algunas otras propiedades útiles. Pero nunca he oído hablar de uno que fue útil suficiente para atraer mucho la atención.

Answer 2

Estoy copiando el comentario de Brian M. Scott aquí, porque creo responde a la pregunta completa y correctamente:

Como normalmente se utiliza el término cardinalidad , los números verdaderos solamente cardinalities de conjuntos que son los enteros no negativos. Por supuesto, los cardinalities de conjuntos infinitos, no son números naturales.