Un campo es rígido iff su automorphism grupo es trivial.
Un campo de $F$ es perfecto iff todos los irreducibles en $F[x]$ son separables.
Es cada rígido campo perfecto?
Respuesta
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La respuesta es no.
El lugar natural para buscar una rígida campo es en el campo de función de un genérico, de alta género curva suave. Por ejemplo, en los números complejos, Hurwiz del automorphism teorema garantiza que una compacta superficie de Riemann de género $g>1$ tiene más de $84(g-1)$ automorfismos. Tener al menos un trivial automorphism, para una superficie de Riemann de género $g>2$, debe ser visto como una propiedad muy especial (género $2$ no es suficiente, porque el género $2$ curvas son todos hyperelliptic, y, por tanto, admitir una involución).
Este papel de Bjorn Poonen muestra que para cualquier campo $k$ y cualquier entero $g \geq 3$, existe una curva suave $X$ de género $g$ $k$ tal que $X$ no tiene no trivial de automorfismos $\overline{k}$ (por lo tanto, a fortiori, no tiene más de automorfismos $k$).
Tomando $k=\mathbf F_p$, se deduce que la función de campo de $\mathbf F_p(X)$ de dicha curva $X/\mathbf F_p$ es rígido. Sin embargo, el ser finito extensión de la función racional campo $\mathbf F_p(T)$, no puede ser perfecta, o de lo contrario podría contener todos los $p$-potencia raíces de $T$, y tendría un grado infinito sobre $\mathbf F_p(T)$.
