Para cada primo de la forma $2^{4n}+1$ 7 es una raíz primitiva.

Question

Lo que quiero mostrar es la siguiente afirmación.

Para cada primo de la forma $2^{4n}+1$ 7 es una raíz primitiva.

Lo que entiendo es que

$$7^{2^{k}}\equiv1\pmod{p}$$ $$7^{2^{k-1}}\equiv-1\equiv2^{4n}\pmod{p}$$ $$7^{2^{k-2}}\equiv(2^{n})^2\pmod{p}$$ Así $(\frac{2^n}{p})=(\frac{7^{2^{k-2}}}{p})=1$ .

Creo que $7$ es importante porque $7$ es una raíz primitiva pero no sé cómo usar $7$ .

Answer 1

Supongamos que $p=2^{4n}+1$ es un primo. Sabemos que el orden de $7$ es un factor de $p-1$ por lo que es una potencia de dos. La afirmación es equivalente a decir que el orden es exactamente $p-1$ . Supongamos que no es así. Entonces el orden es un factor de $(p-1)/2$ lo que significa que $$ \left(\frac7p\right)\equiv 7^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod p. $$ El caso $n=0$ es fácil, por lo que podemos suponer que $n>0$ . Entonces $p\equiv1\pmod4$ por lo que la ley de recpirocidad cuadrática dice que la afirmación es equivalente a $$ \left(\frac{p}7\right)=1. $$ En $2^3\equiv1\pmod7$ , $p\equiv 2^n+1\pmod7.$ La clase de residuo de $2^n+1$ modulo $7$ puede ser $2,3$ o $5$ cuando $n\equiv 0,1,2\pmod3$ respectivamente. De ellos, sólo $2$ es un residuo cuadrático módulo $7$ . Esto significa que debemos tener $3\mid n$ . Te dejo a ti probar que en ese caso $p$ no puede ser un primo a menos que $n=0$ y $p=2$ .

Answer 2

Caso $n=0$ es trivial y cumple nuestra hipótesis. Así pues, consideremos todos los resultados posibles cuando el número natural $n = 3k + t$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ y $t \in \{\, 0,1,2 \,\}$ : \begin{align*} & p = 2^{4\cdot 3k} + 1 = 2^{12k}+1 = (2^{4k} + 1)(2^{8k} - 2^{4k} + 1) \not\in \mathbb{P} \quad (\text{prime}); \\ & p = 2^{4\cdot (3k+1)} + 1 = 8^{4k} \cdot 16^1 + 1 \equiv 1^{4k} \cdot 2^1 + 1 = 3 \mod{7}; \\ & p = 2^{4\cdot (3k+2)} + 1 = 8^{4k} \cdot 16^2 + 1 \equiv 1^{4k} \cdot 2^2 + 1 = 5 \mod{7}. \end{align*}

Si $p \equiv 3 \mod{7}$ entonces tenemos $(p/7) = (3/7) = -(7/3) = -(1/3) = -1$ .

Si $p \equiv 5 \mod{7}$ entonces tenemos $(p/7) = (5/7) = (7/5) = (2/5) = -1$ .

Puesto que obviamente $p \equiv 1 \mod{4}$ la ley de reciprocidad cuadrática da $(7/p) = (p/7)$ y \begin{equation*} -1 = (p/7) = (7/p) \equiv 7^{\frac{p-1}{2}} = 7^{2^{4n-1}} \mod{p}. \end{equation*} Esto significa que $\operatorname{ord}_p(7) \nmid 2^{4n-1}$ y al mismo tiempo $\operatorname{ord}_p(7) \mid \varphi(p) = 2^{4n}$ . Entonces la única posibilidad es que $\operatorname{ord}_p(7) = \varphi(p)$ y $7$ es una raíz primitiva módulo $p$ por definición.

Answer 3

Recordemos que cualquier primo $p$ tiene $\varphi(p-1)$ raíces primitivas. En nuestro caso, $\varphi(p-1)=(p-1)/2$ .

Cualquier primo $p$ tiene $(p-1)/2$ no-residuos cuadráticos. Cualquier raíz primitiva es un no-residuo, por lo que para los primos $p$ de la forma $2^w+1$ , cada NR es una raíz primitiva.

Queda por demostrar que $7$ es un NR de $p$ . Esto se trata en la respuesta de Jyrki Lahtonen. En resumen, utiliza la reciprocidad.