¿Es una escalar representa un mapa lineal?

Question

Me han preguntado recientemente si $1 \times 1$ matriz reprsents un escalar, y después de hacer un poco de lectura todavía no estoy satisfecho. Me he decidido a hacer esta pregunta desde una perspectiva diferente: hace un escalar representan un $1 \times 1$ mapa?

Porque cualquier matriz es lineal en el mapa entre dos bases, que implicaría que un $1 \times 1$ matriz es un isomorfismo entre el 1 de dos espacios dimensionales.

Así, en la función/mapa $ f(x) = rx $ donde r es un número, no es $r$ a sólo un escalar? Este es un mapa por lo que no puede este mapa estar representado por la matriz de $(r)$? No, entonces, implica que un $1 \times 1$ y un escalar son el mismo?

Obviamente, la multiplicación entre un $1 \times 1$ matriz y un $n\times m$ matriz de donde $n \neq 1$ no está definido, pero $1 \times 1$ matrices parecen comportarse como los escalares en todos los demás casos, así que ¿por qué no se hizo una excepción? Y ¿cuál es la diferencia fundamental entre un $1 \times 1$ mapa y un escalar, si es que la hay?

Answer 1

Voy a ampliar en snulty la respuesta por dar un ejemplo.

Echemos un lineal mapa de $f:\Bbb R\to \Bbb R$ definido por $f(x) = 3x$. Primero elijo el estándar de base, $\{1\}$, por tanto el dominio y el codominio de este mapa. Entonces es claro que la matriz que representa este mapa es $(3)$.

Pero vamos a probar un par diferente de las bases. Voy a elegir a la base $\{2\}$ para el dominio y $\{3\}$ para el codominio de la función. A continuación, la matriz que representa este mapa es $\left(2\right)$. ¿Cómo puedo saber? Así que vamos a ver lo que sucede cuando tratamos de transformar el "vector" $6$. El componente de $6$ respecto de la base $\{2\}$ $(3)$ así que multiplicar las matrices $$\left(2\right)(3) = \left(6\right)$$ which is the component of the vector $18$ wrt the basis $\{3\}$.

Así como usted puede ver el $3$ en la definición del mapa es un miembro de el campo de $\Bbb R$ y es independiente de las bases elegido para el dominio y el codominio de la función lineal. Sin embargo, la única entrada de la matriz que representa la función depende de las bases que elegimos para el dominio y codominio de nuestros mapas.

Answer 2

Cualquier mapa linear de un espacio dimensional del vector a otra viene dado por la multiplicación por una constante o una matriz de $1\times 1$, una vez que hayas elegido base (bases).

Sin embargo, la matriz de $1\times 1$ cambia dependiendo de la opción de base. Suele ser un valor escalar en álgebra lineal y elemento del campo el espacio del vector, que es independiente de la opción de base para el espacio del vector sí mismo.

Answer 3

Si $A$ $n \times m$ matriz que representa a algunos lineal mapa de$\mathbb{R}^m$$\mathbb{R}^n$, entonces es útil tener en cuenta que el $j$ésima columna de a $A$ es la imagen de la $j$th base de vectores (por ejemplo, si usted está utilizando el estándar de base, entonces es el vector con un $1$ $j$th componente, y todos los demás componentes de cero). Siguiendo con el estándar de base, las columnas de a $A$ son los elementos de la imagen espacio de $\mathbb{R}^n$.

Si $A=[r]$$1 \times 1$, entonces sí que es lineal en el mapa de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Bajo el estándar de base, esto toma la forma $x \mapsto rx$ como se señaló. En el párrafo anterior, también se puede pensar en la única entrada $r$ como la imagen del elemento $1$ (desde $r \cdot 1 = r$), y claramente $r$ es un elemento de la imagen espacio de $\mathbb{R}$.

No estoy seguro de lo que su confusión es la relativa a los escalares. Las entradas de vectores y matrices son escalares. En particular, una $1$-dimensiones del vector y un $1\times 1$ matriz puede ser pensado como un escalar, pero también puede todavía ser interpretado como un vector o una matriz lineal mapa respectivamente.

Answer 4

Un espacio vectorial es un dos-ordenan la estructura, una especie de ser vectores y el otro tipo se escalares. Escalares ley linealmente de los vectores a través de la multiplicación escalar, y una multiplicación escalar no es nada más que una operación de escalado, por lo que no es de extrañar por qué "escalar" tiene ese nombre. Por supuesto, las operaciones de escala son (a) lineal de los operadores sobre los vectores, y para finito-dimensional espacios vectoriales lineales de los operadores sobre los vectores son isomorfos a matrices (con el operador de composición que corresponde a la multiplicación de la matriz).

Específicamente, dado cualquier finito-dimensional espacio vectorial $V$:

$c \cdot v = \pmatrix{ c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c } \pmatrix{ x \\ y \\ \vdots \\ z }$ para cualquier escalar $c$ y el vector $v$ $V$ donde $\pmatrix{ x \\ y \\ \vdots \\ z }$ es $v$.

Tenga en cuenta que la anterior es válida independientemente de la base que utilizamos para $V$. Si usted elige una base diferente, a continuación, $v$ tendrá una representación diferente, pero el resultado después de la multiplicación de la matriz será la representación de la misma escala de $v$, es decir, $c \cdot v$ aquí.

Por lo que no es correcto pensar de un escalar como un $1 \times 1$ matriz, aunque es cierto que el campo de escalares solo por sí mismo es isomorfo al campo de la $1 \times 1$ matrices. Que es un natural coincidencia, pero cada vez que pensamos de escalares es con respecto a un mayor espacio vectorial estructura, en cuyo caso los escalares no son en todos los $1 \times 1$ matrices. Para un $n$-dimensional espacio vectorial, escalares corresponden a un cierto tipo de $n \times n$ matrices como se muestra arriba.

Tenga en cuenta que la correspondencia no es en todos los géneros. Es por eso que la misma colección de escalares puede ser usado en diferentes espacios vectoriales con diferentes (o incluso inexistente) de dimensión. Es sólo con respecto a cada vector de estructura de espacio que los escalares son isomorfos a una colección particular de matrices.

Dado que no todos los espacios vectoriales tienen la matriz de representaciones, los escalares son, en general, justo (isomorfo a) una colección especial de los lineales de los mapas que son también un campo en el pointwise la suma y la composición.

Exactamente lo mismo se aplica a la multiplicación escalar de matrices, que no es más que la composición de una operación de escalado después de la lineal mapa representado por la matriz.

Específicamente, dado cualquier finito-dimensional espacio vectorial $V$:

$c M = \pmatrix{ c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c } M$ para cualquier escalar $c$ $V$ y matriz $M$ sobre una base de $V$.

Answer 5

Sí, un escalar $s \in \mathbb{F}$ representar el mapa $$ T: \mathbb{F} \to \mathbb{F}: t (x) = s x $$

Por $$ T (\alpha x + \beta y) = s (\alpha x + \beta y) = s \alpha x + \beta y s = \alpha t (x) + \beta T(y) \quad (\alpha, \beta, x, y \in \mathbb{F}) $$ es un mapa linear.