probabilidad P (A y B)

Question

Tengo difícil entender la siguiente regla. ¿Cualquier persona puede utilizar un ejemplo simple para explicarme la regla? Gracias.

Si A y B están cualquier dos eventos, entonces $P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A| B)=P(A)\cdot P(B|A)$, donde P(B| A) es la probabilidad de B ocurriendo bajo la condición de evento A.

Answer 1

La definición de Kolmogorov de la probabilidad condicional es la $$ P(B| A) = \frac{P (B \cap A)}{P(A)} $$ tan reorganización da $P(B|A) P(A) = P(B \cap A)$.

Answer 2

Probabilidades condicionales son especialmente útiles cuando se trata de cosas que implican tener que recoger las cosas sin reemplazo.

Considere la posibilidad de un juego de blackjack y se quiere calcular la probabilidad de que se le reparten dos ases. (Supongamos, por simplicidad, que sólo estamos tratando con una sola baraja de 52 cartas y que las dos primeras cartas de la baraja son tratados a nosotros). Si dejamos $A$ ser el caso de que la primera carta es un as y deje $B$ ser el caso de que la segunda carta es un as, entonces es claro que queremos encontrar $P(A \text{ and } B)$.

Utilizando la definición de probabilidad condicional, podemos encontrar, $$P(A \text{ and } B) = P(A)P(B|A) = P(\text{first card is an ace})P(\text{second card is an ace given the first card is an ace)} $$$$= \frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51} = \frac{1}{221}.$$

Tenemos que $P(A)$ $\frac{4}{52}$ ya que hay 4 ases de una baraja de 52 cartas y $P(B|A) = \frac{3}{51}$ porque después de la primera ace se dibuja, hay 3 ases entre las 51 cartas restantes.

Answer 3

Si $\mathbb{P}[A]=0$, claramente nos gustaría $\mathbb{P}[A \cap B]=0$ y este es el caso.

Ahora si $\mathbb{P}[A]\neq0$, esto es equivalente a $$ \mathbb{P}[B|A] = \frac{\mathbb{P}[A \cap B]}{\mathbb{P}[A]} $$ El lado derecho es una definición de $\mathbb{P}[B|A]$, es decir, la probabilidad de $B$ conocer $A$. Tiene sentido puesto que, básicamente, se restringe el espacio muestral a $A$.

Simple ejemplo: lanzamos un dado dos veces.

Hay $36$ posibles resultados equiprobables, decir $(a,b)$$1\leq a,b\leq 6$.

¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un $6$ sabiendo que la suma de los dos tiros es $8$ ?

Respuesta: No se $5$ los resultados para los que la suma de los dos tiros es $8$. Son $$ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) $$ De los $5$ de los resultados, hay$2$, para los que hay un $6$ : $(2,6)$ y $(6,2)$. Por lo tanto, razonablemente, la probabilidad debe ser $2/5$.

En este ejemplo se motiva a la definición anterior.

De hecho, si usted llama a $B$ el evento "obtener al menos una $6$" e $A$ el evento: "la suma de los dos tiros es $8$" entonces vemos que $$ A \cap B = \{(2,6),(6,2)\} $$ y nuestra respuesta $2/5$ puede ser escrita en la forma $$ \frac{2}{5} = \frac{2/36}{5/36} = \frac{\mathbb{P}[A\cap B]}{\mathbb{P}[A]} $$

Answer 4

De las respuestas ya dadas, aquí es la probabilidad libro que usé el semestre pasado en mi clase de probabilidad. Que le dice exactamente lo que necesita saber para la probabilidad condicional en los casos discretos y continuos. La sección de probabilidad condicional comienza en página $141$.

Answer 5

En primer lugar, supongamos que a y B son independientes de los eventos, entonces la probabilidad de que ambos ocurran es solo el producto de sus probabilidades individuales: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Eneste situación, $P(A|B) = P(A)$$P(B|A) = P(B)$. Esto significa que la probabilidad de que ocurra es el mismo si o no B se produce, o viceversa.

Probabilidad condicional nos permite conceptualizar eventos dependientes. Cuando existe una cierta relación entre a y B, al igual que a causa B, o viceversa, o tienen alguna causa común, a continuación,$P(A) \neq P(A|B)$$P(B) \neq P(B|A)$.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un frasco de 100 canicas. 70 son de color rojo y 30 son de color verde. Por otra parte, de 65 años tienen rayas blancas, y 35 son claras.

Así: $P(R) = 70/100$, $P(G) = 30/100$, $P(S) = 65/100$ y $P(N) = 35/100$.

Ahora supongamos que hay un sesgo: supongamos que la mayoría de los mármoles verdes, 29 de hecho, tiene una raya blanca.

Si tomamos todos los 30 de mármol verde de un frasco y lo puso en su propio envase, el "verde jar", y dibujar mármoles de sólo el verde frasco, la probabilidad es de 29 o 30 de conseguir una de rayas. Este es obvia: tenemos 30 canicas, y 29 tienen rayas. Este 29/30 probabilidad es $P(S|G)$: probabilidad de que una raya, cuando el verde es tomado para concedido.

Desde el 29 de los 65 a rayas canicas son de color verde, significa que 36 son de color rojo. Si ponemos todos los 70 canicas rojas en un frasco, y elegir sólo que el rojo frasco, la probabilidad de obtener un listado de mármol es 36/70. Esto es $P(S|R)$.

Ahora sabemos que el 29 de mármoles verdes tienen una raya. Por lo que la probabilidad de un verde de rayas mármol de la original rojo-verde frasco es precisamente 29/100. Que es $P(G \cap S)$.

Si sustituimos en los números:

$$P(G \cap S) = P(S|G)P(G)$$

vemos que funciona:

$$29/100 = 29/30 \times 30/100$$

El 30 y el 30 de cancelar, dejando $29/10$.

Funciona con S y G invertido también. $P(G|S)$ es la probabilidad de que un mármol ser verde, si se tiene una banda. Si hacemos un "rayado de tarro" con el rayado de los mármoles, contiene 65 canicas. 29 de ellos son de color verde. Por lo $P(G|S)$$29/65$:

$$P(G \cap S) = P(G|S)P(S)$$

$$29/100 = 29/65 \times 65/100$$

Ahora el 65 cancelar, dejando $29/100$.