¿Hay algún problema con esta "prueba"?

Question

El problema. Demostrar que $e^{-x}$ y $\sin(x)$ se cruzan infinitas veces.

Solución.

$\lim_{x \to o} e^{-x} = e^0 = 1$

$\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$

Esto demuestra que como $e^{-x}$ va de 0 a infinito, su rango se aproxima a 0. Pero esto no es suficiente para demostrar que se cruzan infinitas veces. Debemos demostrar que el rango de $e^{-x}$ está contenida entre $1$ y $-1$ de 0 a infinito (el rango de $\sin(x)$ ). Podemos hacerlo buscando los extremos en $e^{-x}$ .

$$\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$$ $$-e^{-x} = 0 \Rightarrow \text{False!}$$

Por lo tanto, podemos concluir que como $e^{-x}$ está contenido en el rango de $\sin(x)$ de $0$ a $\infty$ deben intersecarse infinitas veces.

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Mi profesor dijo que mi prueba era, y cito: "Una idea que se podría trabajar más" y sólo me dio un 15% del 25% por el problema en el examen. Obviamente quería que usáramos el teorema del valor medio, pero como no lo exigía en la pregunta, pensé en mostrarlo de esta manera... ¿Hay algo malo en mi prueba y realmente necesita más trabajo?

Answer 1

La prueba necesita más trabajo. Ha demostrado que no hay extremos locales de $e^{-x}$ en $[0,\infty)$ Sin embargo, su conclusión, que por lo tanto $e^{-x}$ está contenida, es un total non sequitor.

El hecho de que una función no tenga extremos no tiene nada que ver con el hecho de que esté contenida. Como ejemplo, tomemos $f(x) = x$ que también tiene una derivada no nula.

Incluso al probar eso, luego dices que porque el rango de $e^{-x}$ está contenido en el rango de $\sin x$ esto significa que hay infinitas intersecciones, sin embargo si se toma la función $\frac{1}{2}e^{-x}$ esta función tiene un rango que está contenido en el rango de $e^{-x}$ pero las funciones nunca se cruzan.

Answer 2

Su solución no es completa, como han señalado los demás.

Una solución correcta sería:

Establecer $f(x)=\sin(x)-e^{-x}$ . $f$ es continua.

Dejemos que $k\ge 0$ sea un número entero. Entonces $f(\pi/2+2\pi k)=1-e^{-(\pi/2+2\pi k)}>0$ y $f(3\pi/2+2\pi k)=-1-e^{-(3\pi/2+2\pi k)}<-1$ .

Por el teorema del valor intermedio, $f$ tiene un cero en cada intervalo $(\pi/2+2\pi k,3\pi/2+2\pi k)$ para $k\in\mathbb{N}$ . Es decir, hay infinitos ceros de $f$ es decir, infinitas soluciones de $\sin(x)=e^{-x}$ .

Answer 3

Conocemos los siguientes hechos básicos.

1) Por la periodicidad $f(x) = \sin x$ toma los valores $0$ y $1$ infinitas veces a intervalos regulares. Esto significa que dado cualquier número $N > 0$ hay infinitos valores de $x$ para lo cual $x > N$ y $\sin x = 0$ . Y otro conjunto de infinitos valores de $x$ existe tal que $x > N$ y $\sin x = 1$ .

2) $\lim_{x \to \infty}e^{-x} = 0$ . Tenga en cuenta que $e^{-x} > 0$ para todos $x$ y por lo tanto este límite implica que para cualquier $\epsilon > 0$ hay un número $N > 0$ tal que $0 < e^{-x} < \epsilon$ para todos $x > N$ . Tomando $\epsilon = 1$ vemos que hay un $N > 0$ tal que $0 < e^{-x} < 1$ para todos $x > N$ .

Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, vemos que para $x > N$ , $e^{-x}$ se encuentra entre los límites $0$ y $1$ (y nunca alcanza estos límites) y $f(x) = \sin x$ alcanza estos dos valores $0, 1$ infinitas veces. Se deduce claramente por el teorema del valor intermedio que $f(x) = \sin x$ se cruza con $e^{-x}$ infinitas veces. No necesitamos averiguar los puntos en los que $f(x) = \sin x$ toma los valores $0, 1$ . Sólo necesitamos saber que existen infinitos valores de este tipo.