Una matriz es diagonalizable, entonces, ¿qué?

Question

Quiero decir, se puede decir que es similar a una matriz diagonal, se tiene n vectores propios independientes, etc., pero ¿cuál es el problema de tener diagonalizability? Puedo sólidamente percibir las diferencias entre dos transformación lineal uno de los cuales es diagonalizable y el otro no lo es, ya sea por medio de la visualización o figurativo descripción?

Por ejemplo, invertibility puede ser percibido. Porque no es invertible transformación debe comprimir el espacio en uno o más en una dirección determinada a 0. Como estrellar un espacio plano.

Answer 1

Hasta el cambio en la base, sólo hay 2 cosas una matriz puede hacer.

1. Puede actuar como un escalado de operador donde se lleva a algunos de los principales vectores (vectores propios) y las escalas de ellos, o
2. puede actuar como un operador de desplazamiento a la de donde se saca un primer vector, la envía a un segundo vector, el segundo vector a un tercer vector, y así sucesivamente, a continuación, envía el último vector en un grupo a cero.

Puede ser que para algunos colección de vectores que hace escala mientras que para otros se hace el desplazamiento, o también puede hacer las combinaciones lineales de estas acciones (bloque de escala y cambio de forma simultánea). Por ejemplo, la matriz de $$ P \begin{bmatrix} 4 & & & & \\ & 3 & 1 & & \\ & & 3 & 1 &\\ & & & 3 & \\ & & & & 2 \end{bmatrix} P^{-1} = P\left( \begin{bmatrix} 4 & & & & \\ & 3 & & & \\ & & 3 & &\\ & & & 3 & \\ & & & & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0& & & & \\ & 0& 1 & & \\ & & 0& 1 &\\ & & & 0& \\ & & & &0 \end{bmatrix}\right)P^{-1} $$ actúa como la combinación de una escala del operador en todas las columnas de a $P$

• $p_1 \rightarrow 4 p_1$, $p_2 \rightarrow 3 p_2$, ..., $p_5 \rightarrow 2 p_5$,

  además de un cambio de operador en la 2ª, 3ª y 4ª columnas de $P$:

• $p_4 \rightarrow p_3 \rightarrow p_2 \rightarrow 0$.

Esta idea es el contenido principal detrás de la forma normal de Jordan.

Ser diagonalizable significa que no hace ningún tipo de cambios, y sólo hace escala.

Para una explicación más detallada, ver este excelente post del blog de Terry Tao: http://terrytao.wordpress.com/2007/10/12/the-jordan-normal-form-and-the-euclidean-algorithm/

Answer 2

Si una matriz real de $n\times n$ $M$ es diagonalizeable, entonces corresponde al estiramiento $\mathbb R^n$ $n$ linealmente independientes líneas algún factor $\lambda_n$. De lo contrario no es el caso.

Answer 3

Voy a intentar una respuesta en los diferentes (equivalente) dirección: ¿qué sucede cuando la matriz no es diagonalizable?

Primero de todo, esto debe significar que algunos de los de la matriz de autovalores ocurrir más de una vez. De lo contrario, la matriz de la realidad, no podemos hacer otra cosa que simplemente estirando sus autovectores por $\lambda_n$. Entonces, ¿qué si dos valores son iguales? Vamos a escribir la mayoría de los no-trivial no diagonalizable ejemplo hay $$\pmatrix{0 & 1 \cr 0 & 0}.$$ Este (como se ha observado correctamente) aplasta el espacio. Pero el punto importante es que no aplaste a cero!!! En su lugar, sólo aplasta a un cierto subespacio. En general, si usted tiene un nilpotent de la matriz (todos los autovalores se desvanecen) hay muchos subespacios (de diferentes dimensiones) para elegir y tantas maneras diferentes para aplastar el espacio. El cero operador envía todo a cero de inmediato, mientras se tomará un trivial nilpotent matriz de algunos (finito) de tiempo en el sentido de que para $T$ nilpotent, $T^n = 0$ algunos $n$. En general, cada nilpotent matriz es similar a una matriz que se ve algo como esto $$\pmatrix{0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 &1 &1 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 &0}$$ con algunos de los que están por encima de la diagonal. La posición precisa de aquellos (si hay alguna) determina que el subespacio se aplastan para que y así sucesivamente. Están muy animados a jugar con tales matrices en $\mathbb R^3$ (donde no hay demasiadas posibilidades de cómo un nilpotent matriz puede parecer, pero es suficiente para mostrar lo que pasa).

Habiendo dicho todo esto, sería un pecado no hablar de Jordania descomposición. Cuando el estudio de una matriz de $A$ primero encontrar sus valores propios y subespacios propios correspondientes. Por lo que elegir un espacio propio correspondiente al valor propio $\lambda$. A continuación,$A - \lambda$, restringido a este espacio propio, es un nilpotent operador! Si este nilpotent operador es cero, entonces la matriz original $A$ sólo se extiende este espacio propio por $\lambda$. Pero en general puede realizar una gran cantidad de trivial aleatoria (correspondiente a la nilpotent parte).

Answer 4

El comportamiento de sistemas dinámicos lineales, continuos y discretos, puede expresarse en términos de los valores propios de la matriz correspondiente, y la expresión (y especialmente el comportamiento a largo plazo) tienen algunas complicaciones agregadas si la matriz no es diagonalizable.