estrictamente monotónica pero mapa inyectiva _non_

Question

Si $X$ es un conjunto parcialmente ordenado y $Y$ un conjunto ordenado, existen mapas de $X$ $Y$que son :

• estrictamente monótona
• no inyectiva

He aquí dos ejemplos :

• Considere la posibilidad de $\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$ el conjunto de todos finito de partes de $\mathbb{N}$, ordenados por inclusión y dejar $$\varphi:\mathcal{P}_f(\mathbb{N})\to\mathbb{N},A\mapsto\text{card}(A)$$It is clear that, forall $A,B\in\mathcal{P}_f(\mathbb{N})$, we have $\subsetneq B\implica \text{tarjeta}(A)<\text{tarjeta}(B)$ so that $\varphi$ is strictly increasing. At the same time, $\varphi$ is not injective because there are are obviously distinct finite subsets of $\mathbb{N}$ con la misma cardinalidad.

• Deje $\mathbb{P}$ el conjunto de los números primos y $$\psi:\mathbb{N}-\{0,1\}\to\mathbb{N}-\{0\},n\mapsto\cases{1\text{ if }n\in\mathbb{P}\\n\text{ otherwise}}$$Let us equip $\mathbb{N}-\{0,1\}$ and $\mathbb{N}-\{0\}$ with the divisibility relation, denoted as usual by $\mid$. We can see that forall $m,n\in\mathbb{N}-\{0,1\}$ such that $m\,\Vert\,n$ (which means $m\a mediados de n$ and $m\neq n$), we have $\psi(m)\,\Vert\,\psi(n)$, so that $\psi$ is strictly increasing. But $\psi$ está claro que no es inyectiva ya que todos los números primos tienen la misma imagen !

Mis preguntas :

• Dado un poset $X$ (no totalmente ordenado), no necesariamente existe un mapa de $f:X\to X$ que es estrictamente monótona, pero no inyectiva ?

• Si es así, podemos describir algunas procedimiento genérico para la construcción de un mapa ?

Cualquier sugerencias / ayuda será apreciada :)

Answer 1

Dado un poset $X$ (no totalmente ordenado), no necesariamente existe un mapa de $f:X\to X$ que es estrictamente monótona, pero no inyectiva?

No necesariamente. Deje $\omega$ ser los números naturales en el orden habitual y deje $X = \omega\;\|\;\omega^{\partial}$ el valor del paralelo suma de $\omega$ y su doble. (Es decir, poner a $\omega$ $\omega^{\partial}$ lado a lado, sin comparabilities entre ellos.) $X$ no es un orden total, pero ningún mapa, $f\colon X\to X$ tal que $x<y$ implica $f(x)<f(y)$ mapa de la copia de $\omega$ dentro de sí mismo injectively y la copia de $\omega^{\partial}$ dentro de sí mismo injectively, por lo tanto es inyectiva.