resultar simple suma de binomio, combinatoria

Question

Quiero demostrar que:

$$\large\sum_{i = 1}^{n} \binom{n}{i}\binom{n}{i-1} = \binom{2n}{n-1}$$

En el lado derecho tenemos simplemente el coeficiente del término $x^{n-1}$ $(1+x)^{2n}$

Pero por otro lado,

$$(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(1+x)^{n} = \large\sum_{i = 0}^{n}\binom{n}{i}x^i\sum_{j = 0}^{n}\binom{n}{j}x^j$$

y aquí el coeficiente de $x^{n-1}$ $j = n-1-i$ y $i$ no puede ser superior al $n-1$ tan general:

$$\large\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i-1}$$

¿Cómo seguimos de aquí?

Answer 1

Que $k=i+1$. Entonces, $i=k-1$, y

$$\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}\binom{n}{n-i-1}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}\binom{n}{n-k}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}\binom{n}{k},$$

donde la igualdad pasada sigue desde $\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}$.

Answer 2

Aquí está una técnica similar, utilizando el coeficiente de operador $[x^n$] para denotar el coeficiente de $x^n$ en una serie. De esta manera podemos escribir por ejemplo $$\begin{align*} [x^i](1+x)^n=\binom{n}{i} \end{align*}$$ También adopta la convención de que los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}=0$ si $k>n$ o $k<0$.

Obtenemos $$\begin{align*} \sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}&=\sum_{i=0}^\infty[x^i](1+x)^n[y^{i-1}](1+y)^n\tag{1}\\ &=[y^{-1}](1+y)^n\sum_{i=0}^\infty y^{-i}[x^i](1+x)^n\tag{2}\\ &=[y^{-1}](1+y)^n\left(1+\frac{1}{y}\right)^n\tag{3}\\ &=[y^{n-1}](1+y)^{2n}\tag{4}\\ &=\binom{2n}{n-1} \end{align*}$$

Comentario:

• En (1) se aplica el coeficiente de operador dos veces y extender el límite inferior y el límite superior de la suma sin cambiar nada, ya que sólo agregar ceros.

• En (2) utilizamos la linealidad del coeficiente de operador y aplicar la regla $$\begin{align*} [y^{p+q}]A(y)=[y^{p}]y^{-q}A(y) \end{align*}$$

• En (3) se utiliza la sustitución de la regla de que el coeficiente deoperador $$\begin{align*} A(y)=\sum_{i=0}^{\infty}a_iy^i=\sum_{i=0}^\infty y^i [x^i]A(x) \end{align*}$$

• En (4) el factor $\frac{1}{y^n}$ y utilizar de nuevo la regla de (2) para obtener el $[y^{-1}]y^{-n}=[y^{n-1}]$

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, #2 \,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$

$$\begin{align} \color{#f00}{\sum_{j = 1}^{n}{n \choose j}{n \choose j - 1}} & = \sum_{j = 1}^{n}{n \choose j}{n \choose n - j + 1} = \sum_{j = 1}^{n}{n \choose j}\ \overbrace{\oint_{\verts{z} = 1} {\pars{1 + z}^{n} \over z^{n - j + 2}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} ^{\ds{{n \choose n - j + 1}}} \\[3mm] & = \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z^{n + 2}}\ \overbrace{\sum_{j = 1}^{n}{n \choose j}z^{j}}^{\ds{\pars{1 + z}^{n} - 1}}\ \,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm] & = \overbrace{% \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{2n} \over z^{n + 2}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} ^{\ds{{2n \choose n + 1}}}\ -\ \overbrace{% \oint_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z^{n + 2}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} ^{\ds{{n \choose n + 1} = 0}} = {2n \choose n + 1} = \color{#f00}{{2n \choose n - 1}} \end{align}$$