Análisis sin álgebra

Question

Una vez escuché a alguien decir que el análisis es $99 \%$ álgebra. Él fue, por supuesto, se refieren a la cantidad de manipulaciones algebraicas en los ejercicios de cualquier curso de cálculo.

Sé que en la topología combinatoria o, extrañamente, (resumen) álgebra, algunas cosas interesantes que se puede decir sin necesidad de escribir una sola ecuación. Sin embargo me encontré con que yo no conozco a ninguno de esos ejemplos en el análisis.

Por lo tanto les pido su ayuda. Nada parecido a análisis es bienvenida, pero yo preferiría que si el ejemplo que era comprensible para alguien que ha tomado sólo un año o dos de análisis real.

Answer 1

El cálculo es todo acerca de la interacción entre la diferenciación y la integración. Buscando en la definición de la derivada, verás que en realidad sólo utiliza dos propiedades de la recta real: su estructura lineal (de modo que podamos forma la diferencia de $f(x + h) - f(x)$ y su estructura topológica (de modo que podamos tomar un límite). Lo que en este sentido, el cálculo es exactamente la mitad de álgebra.

Por supuesto, eso no explica por qué se siente como la mayoría de álgebra cuando en realidad estás tomando una clase de cálculo. Cuando llegues abajo a la derecha es lo que uso en el día a día en una clase de cálculo es la relación entre la diferenciación y la integración, y esta relación puede ser resumido de la siguiente manera. Comenzar con el anillo de la $A$ de todas las funciones lisas en $C^\infty(\mathbb{R})$. Tenemos dos lineal mapas de $d$ (diferenciación) y $I$ (integración) en $A$ que satisfacen las siguientes propiedades:

• $d(1) = 0$
• $d(f \cdot g) = df \cdot g + f \cdot dg$
• $d(f \circ g) = dg \cdot df \circ g$
• $d \circ I = id$
• $I \circ d = id + C$

Tomando estas cinco propiedades como axiomas, se puede diferenciar e integrar, básicamente, cualquier función que usted encuentra en su primer año de cálculo. Por ejemplo, la segunda y la tercera darle el cociente de la regla y el segundo y el quinto darle integración por partes. De hecho, con un poco de esfuerzo uno puede incrustar estos axiomas en una expresión algebraica paquete completo que caracteriza a $C^\infty(\mathbb{R})$ y por lo tanto la mayoría de cálculo.

Un comentario final. Aviso que en su primer año de cálculo en realidad no encuentro todo lo que muchas de sus funciones. Aquí está casi lista exhaustiva:

• Polinomios
• Exponenciales
• Productos, cocientes, composiciones, y la recíproca de la anterior

Usted puede objetar que me olvidé de las funciones trigonométricas, pero gracias a de Moivre la ecuación de $e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$ estos realmente son exponenciales. Los polinomios son sin duda algebraica de los objetos, y las funciones exponenciales puede ser caracterizado como el único grupo homomorphisms desde el grupo aditivo de la línea real para el grupo multiplicativo de los rayos $(0,\infty)$. Por lo que no es razonable esperar para hacer un montón de álgebra dado que sólo trabajas con objetos algebraicos.

Answer 2

Yo todavía no terminaba de entender lo que el OP quiere, pero vamos a tratar el Hahn de Banach Separación Teorema:

Deje $K$ ser reales o números complejos. Deje $V$ ser un espacio vectorial topológico $K$. Si $A$ $B$ son convexas, no vacía de subconjuntos disjuntos de a $V$, luego

1. Si $A$ es abierto, entonces no es lineal continuo mapa de $\lambda:V\to K$ y un número real $t$ tal que ${\rm Re}(\lambda(a))\lt t\le{\rm Re}(\lambda(b))$ todos los $a$ $A$ y todos los $b$$B$.

2. Si $V$ es localmente convexo, $A$ es compacto, y $B$ es cerrado, entonces existe un continuo lineal mapa de $\lambda:V\to K$ y los números reales $s$ $t$ tal que ${\rm Re}(\lambda(a))\lt t\lt s\lt{\rm Re}(\lambda(b))$ todos los $a$ $A$ y todos los $b$$B$.

Como se indica en la Wikipedia. Creo que puedo afirmar que no es trivial.