Probar las siguientes usando inducción sobre n (matrices)

Question

Probar las siguientes usando inducción n:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix} n+1 & n \\ -n & -n+1 \end{pmatrix}$$

Sé que la multiplicación de matrices se define como:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$$

¿Cuál es la mejor manera de demostrarlo? ¡Gracias!

Answer 1

Prueba por inducción sobre $n$ le funcionan muy bien:

Queremos demostrar: $$P(n): \quad\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix} n+1 & n \\ -n & -n+1 \end{pmatrix}$$

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Caso Base: $P(1): k = 1$. Lo suficientemente Simple como para confirmar que contiene.

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A continuación, el estado de la hipótesis inductiva: Suponga $$P(k): \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{k} = \begin{pmatrix} k+1 & k \\ -k & -k+1 \end{pmatrix}\quad \text{is true for $n = k$}.\tag{P(k)}$$

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Ahora, que quieren demostrar que $P(k) \implies P(k+1)$.

Es decir, se quiere mostrar que el $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix} (k+1)+1 & k+1 \\ -(k+1) & -(k+1) +1 \end{pmatrix}$

Y que quieres hacer esto mediante la suposición de que $P(k)$ es cierto, por ejemplo,

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{k} =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} k+1 & k \\ -k & -k+1 \end{pmatrix}$$

Ampliar esta última expresión (la multiplicación de la matriz) para obtener $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix} (k+1)+1 & k+1 \\ -(k+1) & -(k+1) +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+2 & k+1 \\ -(k+1) & -k \end{pmatrix}$$

ENTONCES, se puede concluir que desde la $P(1)$ es cierto, y desde $P(k)\implies P(k+1)$, por inducción, que $P(n)$ es cierto para todos los $n$

Answer 2

Sugerencias:

1. Escriba la forma Normal de Jordania (Diagonalize la matriz)

2. Utilizar la forma diagonal para escribir la potencia n-ésima

Estos consejos le permitirá obtener el resultado directamente (probar por derivación).

Si usted quiere probar el resultado usando la inducción, es el procedimiento normal.

• Base para $n=1$

• Hipótesis de inducción

• Paso inductivo: $n \rightarrow n+1$