Variedad afín real de $d$ vectores ortonormales en $\mathbb R^n$

Question

Estoy interesado en la variedad afín $$ V = \left\{ \, A\in \mathbb R^{d\,\times\, n} \, \middle| \, A\,A^T = I \, \right\} \subseteq \mathbb R^{d\, \times\, n}, $$ donde $n\ge d$ y $I$ es el $d\times d$ matriz unitaria. Se trata del conjunto de reales $d\times n$ matrices con filas ortonormales, así que otra forma de verlo es el espacio de configuración de $d$ vectores ortonormales en $\mathbb R^n$ .

Para $n=d$ tenemos $V=\operatorname{O}(n,\mathbb R)$ Así que $V$ no es irreducible ya que se divide en dos componentes donde $\det(A)=1$ y $\det(A)=-1$ respectivamente. Supongo que esta descomposición es ya la descomposición de $V$ en componentes irreducibles para $d=n$ pero no sé cómo mostrarlo o dónde buscar una referencia.

Para $n>d$ Supongo que $V$ es irreducible, pero no sé cómo averiguar si eso es cierto.

Agradecería, si alguien pudiera aportar información o referencias sobre este problema.

Answer 1

Esta variedad $V$ se llama Colector Stiefel . Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel_manifold

Allí se encuentran muchas propiedades, en particular que $V$ está conectado para $d<n$ como usted adivina. El punto esencial aquí es que mientras no se puede mover continuamente una base ortonormal a otra si dan orientaciones opuestas, cuando $d<n$ puedes hacer el movimiento saltando fuera del $d$ -plano que generan. Consideremos un $d$ -marco $\{u_1,\dots,u_d\}$ . Desde $d<n$ hay alguna línea ortogonal a $L=L[u_1,\dots,u_d]$ generado por un vector unitario $w$ y puedes girar $u_d$ en el plano $\Pi=L[u_d,w]$ para conseguir $-u_d$ digamos que se tiene un camino continuo de vectores unitarios $\gamma(t)\in\Pi$ con $\gamma(0)=u_d,\gamma(1)=-u_d$ (aquí saltamos $L$ ). Al final, $$ \varGamma(t)=\{u_1,\dots,u_{d-1},\gamma(t)\} $$ es un camino en $V$ conectando $\{u_1,\dots,u_d\}$ a $\{u_1,\dots,-u_d\}$ dos marcos con orientación opuesta. Por lo tanto, todos los marcos que generan el mismo $d$ -están conectados por un camino. Entonces hay que conectar diferentes $d$ -planos, lo que equivale a decir que el Grassmaniano $G$ de $d$ -aviones en $\mathbb R^n$ está conectado. Esto también es clásico. Por ejemplo

Grupos fundamentales de las variedades de Grassmann y Stiefel

A continuación, para la irreductibilidad, sí, suave y conectado implica irreductibilidad en el caso real. Esto es sólo el principio de identidad: si un polinomio $f$ no desaparece en $V$ suave y conectada, $\{f=0\}\cap V$ tiene el interior vacío. Se deduce que si ninguno de los dos $f$ ni $g$ desaparecen, tenemos $V\setminus\{fg=0\}=(V\setminus\{f=0\})\cap (V\setminus\{g=0\})$ y una intersección de dos conjuntos abiertos densos es abierta densa, por lo tanto no vacía (no necesitamos a Baire aquí). Es bueno señalar que el problema es el inverso: liso irreducible no implica conectividad (los cúbicos reales no singulares proporcionan ejemplos).