Integral (forma cercana?)

Question

Estoy luchando para evaluar la integral siguiente:

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1+2x^2+3x^4+4x^6+5x^8+6x^{10}+7x^{12}}{\sqrt{\left ( 1+x^2 \right )\left ( 1+x^4 \right )\left ( 1+x^6 \right )}}\,dx$.

Veo que el integrando es uniforme, así la integral se puede volver a escribir como: $\displaystyle \int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$, que no ayuda en absoluto. Aplicando el % de sub $u=1-x$es inútil porque resultaría en un lio gigante.

¿Ves un patrón o un enfoque alternativo?

Answer 1

Voy a jugar y a ver si Puedo encontrar nada interesante.

$I =\int_{0}^{1}\dfrac{1+2x^2+3x^4+4x^6+5x^8+6x^{10}+7x^{12}}{\sqrt{( 1+x^2 ) ( 1+x^4 ) ( 1+x^6 )}}\,dx$

Deje $y=x^2$. Entonces $dy = 2x\, dx $ o $dx =\frac{dy}{2x} =\frac{dy}{2\sqrt{y}} $.

Entonces

$\begin{array}\\ I &=\frac12\int_{0}^{1}\dfrac{1+2y+3y^2+4y^3+5y^4+6y^5+7y^6}{\sqrt{y( 1+y ) ( 1+y^2 ) ( 1+y^3 )}} dy\\ &=\frac12\int_{0}^{1}\dfrac{g(y)dy}{\sqrt{f(y)}} \\ \end{array} $

donde $g(y) =1+2y+3y^2+4y^3+5y^4+6y^5+7y^6 $ y

$\begin{array}\\ f(y) &=y( 1+y ) ( 1+y^2 ) ( 1+y^3 )\\ &=y\left( ( 1+y^2 ) ( 1+y^3 )+y ( 1+y^2 ) ( 1+y^3 )\right)\\ &=y\left( 1+y^2+y^3+y^5+y(1+y^2+y^3+y^5)\right)\\ &=y\left( 1+y^2+y^3+y^5+y+y^3+y^4+y^6\right)\\ &=y\left(1+y+y^2+2y^3+y^4+y^5+y^6\right)\\ &=y+y^2+y^3+2y^4+y^5+y^6+y^7\\ \end{array} $

Tomando nota de que

$\begin{array}\\ f'(y) &=1+2y+3y^2+8y^3+5y^4+6y^5+7y^6\\ &=(1+2y+3y^2+4y^3+5y^4+6y^5+7y^6)+4y^3\\ &=g(y)+4y^3\\ \end{array} $

$\begin{array}\\ I &=\frac12\int_0^1 \dfrac{g(y)dy}{\sqrt{f(y)}}\\ &=\frac12\int_0^1 \dfrac{(f'(y)-4y^3)dy}{\sqrt{f(y)}}\\ &=\frac12\int_0^1 \dfrac{f'(y)dy}{\sqrt{f(y)}} -2\int_0^1 \dfrac{y^3\,dy}{\sqrt{f(y)}}\\ \end{array} $

Me voy a parar aquí; este parece un buen comienzo.

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