$PGL(n, F)=PSL(n, F)$

Question

$PGL(n, F)$ y $PSL(n, F)$ son iguales si y sólo si cada elemento de $F$ tiene un $nth$ arraigar en $F$ .( $F$ es un campo finito)

Puedo demostrar que si $PGL(n, F)=PSL(n, F)$ entonces $|F|$ No tengo ni idea de cómo tratarla. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

El mapa determinante da lugar a una secuencia exacta dividida

$$ PSL(n, F) \hookrightarrow PGL(n,F) \twoheadrightarrow F^\times / (F^\times)^n, $$

es decir, tenemos un isomorfismo $PSL(n,F) \rtimes F^\times / (F^\times)^n \cong PGL(n,F)$ .

Ahora, $F^\times / (F^\times)^n = 1$ si y sólo si cada elemento de $F$ tiene un $n$ - raíz.