¿Hay un aumento continuo de la función $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ que el #% superior derecho derivado %#% que no equivalen a la inferior derecha % derivado $D^+f(0)$?
Recordar: $$D^+f(0)=\limsup_{h\downarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)} \quad {h}, D_f(0)=\liminf_{h\downarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)} {h}. $$
Considere la función lineal a trozos de la foto de abajo
Se inicia en $(3,6)$ $(2,1)$ a $(\frac14,\frac12)$. Repita este en escalas de $1:12$ y obtenemos una continua, monótona creciente en función de que tiene una parte superior derivado de la $2$ y una menor derivado de la $\frac12$$0$.
Lisa ejemplo:
Usando la idea de la función lineal a trozos por encima, se me ocurrió $$ f(x)=\frac{x}{4}(5+3\sin(\log(x)) $$ $\dfrac{f(x)}{x}$ también rebota entre los $\frac12$ $2$ (como la función lineal a trozos por encima) y $$ \begin{align} f'(x)&=\frac54+\frac34\sin(\log(x))+\frac34\cos(\log(x))\\ &=\frac54+\frac{3\sqrt{2}}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\log(x)\right)\\ &\ge\frac{5-3\sqrt{2}}{4}\\ &>0 \end{align} $$
El siguiente es un extracto editado de una lesión medular.matemáticas post (el 3 de noviembre de 2000) que pueden ser de interés. El post original (3 direcciones Url se proporcionan a continuación para proteger mejor contra link rot) contiene un poco más de información acerca de la posible Dini derivado del comportamiento de la monotonía de las funciones.
http://groups.google.com/group/sci.math/msg/1bd39d992c91e950
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=274836
https://groups.google.com/forum/?fromgroups#!msg/sci.matemáticas/8vp1XK0-KNg/UOmRLJmd0xsJ
Zamfirescu [2] [3] demostró que la mayoría no decreciente funciones continuas en $[0,1]$ no son diferenciables (finitely o infinitamente) en la mayoría de los puntos, cuando más se utiliza la categoría de Baire sentido en ambos lugares. De hecho, él demostró que la mayoría no decreciente funciones continuas en $[0,1]$ tienen el comportamiento que usted está preguntando acerca de en la mayoría de los puntos. Más precisamente, Zamfirescu demostrado ser el siguiente.
Deje $C^{inc}[0,1]$ ser la colección de no decreciente funciones continuas con el sup norma. A continuación, para cada una de las $f \in C^{inc}[0,1]$ a excepción de un primer conjunto de la categoría de funciones $f,$ tenemos:
(1) $D_{-}f(x) = D_{+}f(x) = 0$ $D^{-}f(x) = D^{+}f(x) = \infty$ por cada $x \in [0,1]$ a excepción de un primer conjunto de la categoría de puntos en $[0,1].$ [3]
(2) $D_{-}f(x) = 0$ o $D^{-}f(x) = \infty$ por cada $x \in (0,1].$ [2]
(3) $D_{+}f(x) = 0$ o $D^{+}f(x) = \infty$ por cada $x \in [0,1).$ [2]
(4) $f'(x) = 0$ por cada $x \in [0,1]$, excepto para una medida de Lebesgue cero conjunto de puntos en $[0,1].$ [2]
Tenga en cuenta que (2) y (3) tomados en conjunto implica que en cada punto no existe una positiva finito unilateral de derivados. F. S. Satisfacer da una buena construcción de una función que satisface (2) y (3) tomar en [1].
[1] Frank Sydney Atender, En la Dini derivada de una función en particular, el Análisis Real de Intercambio 25 (1999-2000), 943-946.
[2] Tudor Zamfirescu, la Mayoría de la monotonía de las funciones están en singular, American Mathematical Monthly 88 #1 (enero de 1981), 47-49.
http://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-078.pdf
[3] Tudor Zamfirescu, Típica monotonía funciones continuas, Archiv der Mathematik 42 #2 (1984), 151-156.
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