Número de opciones en un conjunto de 52 cartas

Question

Dado un conjunto de 52 juego de cartas (4 suites, 13 cartas de cada tipo numeradas 1-13).

En cuántos sets de 5 cartas hay un par con el mismo número y diferente palo (teniendo en cuenta que el resto de 3 tarjetas son de diferente número de cada uno)

Pensé en la siguiente (que está mal):

Elegimos 1 tarjeta de 52.

Del resto de 3 cartas con el mismo número, podemos elegir 1.

A continuación, ponemos lejos de los 2 sobrantes de las tarjetas con el mismo número.

Ahora, de 48 cartas que elegir uno y quitar el resto 3 con el mismo número.

Ahora fuera de las 44 cartas hacemos lo mismo, y lo mismo va para 40 cartas.

Por lo tanto: $52 \times 3 \times 48 \times 44 \times 40$ lo cual es totalmente equivocado.

Answer 1

Eso no es totalmente incorrecto.

De hecho, es casi derecho, excepto terminan contando cada mano con un par de 12 veces, según la cual orden que escoges las dos tarjetas en el par (2 órdenes posibles) y que orden elegir las tres cartas no par ($3!=6$ posible pedidos).

Así que el número total de manos de un par es %#% $ #%

Answer 2

Considere la posibilidad de una mano del tipo especificado, decir $\heartsuit2,\spadesuit2,\heartsuit7,\diamondsuit8,\clubsuit 9$. Se contaron $12$ veces, una por cada uno de los siguientes órdenes de la elección de los cinco tarjetas:

$$\begin{align*} &\heartsuit2,\spadesuit2,\heartsuit7,\diamondsuit8,\clubsuit 9\\ &\heartsuit2,\spadesuit2,\heartsuit7,\clubsuit 9,\diamondsuit8\\ &\heartsuit2,\spadesuit2,\diamondsuit8,\heartsuit7,\clubsuit 9\\ &\heartsuit2,\spadesuit2,\diamondsuit8,\clubsuit 9,\heartsuit7\\ &\heartsuit2,\spadesuit2,\clubsuit 9,\heartsuit7,\diamondsuit8\\ &\heartsuit2,\spadesuit2,\clubsuit 9,\diamondsuit8,\heartsuit7\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\heartsuit7,\diamondsuit8,\clubsuit 9\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\heartsuit7,\clubsuit 9,\diamondsuit8\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\diamondsuit8,\heartsuit7,\clubsuit 9\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\diamondsuit8,\clubsuit 9,\heartsuit7\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\clubsuit 9,\heartsuit7,\diamondsuit8\\ &\spadesuit2,\heartsuit2,\clubsuit 9,\diamondsuit8,\heartsuit7\\ \end{align*}$$

En más detalle, el primer paso de la elección de los dos $2$'s puede ser realizado de dos formas: elija $\heartsuit2$ primero y, a continuación,$\spadesuit2$, o elija $\spadesuit2$ primero y, a continuación,$\heartsuit2$. Del mismo modo, las otras tres cartas puede ser elegido en cualquiera de $3!=6$ diferentes órdenes.

Ya te he contado cada mano $12$ a veces, usted puede obtener la respuesta correcta dividiendo su respuesta por $12$.

Usted puede obtener la respuesta más directa al enfocar el problema de una manera ligeramente diferente. En primer lugar, hay $13$ valores posibles para el par. Una vez que hayas elegido el valor, hay $\binom42$ maneras de elegir dos de las cuatro tarjetas de tener ese valor. Por lo tanto, no se $13\binom42$ formas de elegir el par. Ahora debe elegir tres cartas de valores diferentes del resto de las $12$ valores. Primero elige los tres valores que serán representadas; en mi ejemplo son $7,8,$$9$. Hay $\binom{12}3$ maneras de hacer esto. Para cada uno de estos tres valores, usted tiene una selección de $4$ trajes, entonces usted debe hacer una $4$-forma de elección de $3$ veces; esto se puede hacer en $4^3$ maneras. Por lo tanto, usted puede elegir las tres cartas impares en total $4^3\binom{12}3$ maneras.

Por último, puede elegir el par y las tres cartas impares en

$$13\binom42\cdot4^3\binom{12}3=13\cdot6\cdot64\cdot220=1,098,240$$

maneras.

Answer 3

También puede elegir

• Número común de par: $13$
• Colores de par: ${4 \cdot 3} \over 2$
• Números de otras tres cartas: ${12 \cdot 11 \cdot 10}\over6$
• Colores de estas tres cartas: $4^3$

Así ${{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 4^3}\over{2 \cdot 6}}=1098240$ manos.